Intersection and Collision If two objects travel through space along two different curves, it’s often important to know whether they will collide. (Will a missile hit its moving target? Will two aircraft collide?) Their paths might intersect, but we need to know whether the objects are in the same position at the same time. (See Exercises 10.1.55-57.)
Do the particles collide? Do their paths intersect?
Two particles travel along the space curves
r1(t)=lang<= t, t^2, t^3rang<= r2(t)=lang<= 1+2 t, 1+6 t, 1+14 trang<=

Passo 1

O enunciado dá as trajetórias de duas partículas em função do tempo:
r1(t)=lang<= t,,t^2,,t^3rang<= e
r2(t)=lang<= 1+2t,,1+6t,,1+14trang<=.
Precisamos (a) verificar se em algum instante t temos r1(t)=r2(t) (colisão) e (b) saber se os caminhos se cruzam em instantes possivelmente diferentes (interseção de trajetórias).

Passo 2

Para colisão, igualamos as coordenadas no mesmo parâmetro t:
t = 1 + 2t, t^2 = 1 + 6t, t^3 = 1 + 14t
Da primeira equação vem t - 2t = 1, ou seja t = -1. Substituindo na segunda:
(-1)^2 = 1 e 1 + 6(-1) = -5,
como 1 neq -5, não há solução comum para todas as três equações. Logo, não há colisão.

Passo 3

Para ver se as trajetórias se intersectam em instantes diferentes, trocamos o parâmetro de r2 para s e igualamos
t = 1 + 2s, t^2 = 1 + 6s, t^3 = 1 + 14s

Passo 4

Da primeira equação isolamos
s = t - 12
Substituindo na segunda:
t^2 = 1 + 6cdott-12 = 3t - 2 Longrightarrow t^2 - 3t + 2 = 0 Longrightarrow t = 1 ou t = 2

Passo 5

Para cada caso calculamos s e conferimos a terceira equação.
  • Se t=1, então s=(1-1)/2=0 e 1^3 = 1 = 1 + 14cdot 0
  • Se t=2, então s=(2-1)/2=tfrac12 e 2^3 = 8 = 1 + 14cdot tfrac12 = 8
Ambos satisfazem.

Passo 6

Os pontos de interseção são
r1(1) = (1,1,1) e r1(2) = (2,4,8)

Resposta

Eles não colidem, mas as trajetórias se intersectam nos pontos (1,1,1) e (2,4,8).

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