Encontre os pontos onde a função é descontínua e faça o esboço do gráfico onde
f(x)=ll x^2 & se x<-1 x & se -1 <= x<1 1x & se x >= 1
Justifique rigorosamente sua resposta utilizando definição de continuidade.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x)= x^2,&x<-1, x,&-1<= x<1, dfrac1x,&x>=1,
e pede os pontos de descontinuidade e o esboço de gráfico. Vamos usar a definição de continuidade em a:
f é contínua em aiff limxto af(x)=f(a) éí

Passo 2

Verificamos primeiro que em cada intervalo aberto interno cada ramo é contínuo:
– Em x<-1, x^2 é polinomial, logo contínua;
– Em -1<x<1, x é contínua;
– Em x>1, tfrac1x é contínua no domínio xneq0, e aqui x>=1 não inclui zero.

Passo 3

Agora checamos em x=-1. Calculamos os limites laterais:
limxto -1^-f(x) =limxto -1^-x^2=(-1)^2=1,
limxto -1^+f(x) =limxto -1^+x=-1
Como limxto -1^-f(x)neqlimxto -1^+f(x), o limite limxto -1f(x) não existe, portanto f é descontínua em -1.

Passo 4

Em x=1 calculamos
limxto 1^-f(x) =limxto 1^-x=1,
limxto 1^+f(x) =limxto 1^+1x=11=1,
e f(1)=1/1=1. Como limxto1f(x)=1=f(1), f é contínua em 1.

Passo 5

Não há outros pontos críticos (no interior dos intervalos cada ramo é contínuo). Concluímos que a única descontinuidade de f ocorre em x=-1.

Passo 6

Esboço do gráfico:
– Para x<-1, a curva é a parábola y=x^2; em x=-1 deixamos um ponto aberto em (-1,1).
– Para -1<= x<1, o ramo é a reta y=x; em (-1,-1) colocamos ponto fechado e em (1,1) ponto aberto.
– Para x>=1, o ramo é a hipérbole y=1/x com ponto fechado em (1,1).

Resposta

A função é descontínua somente em x=-1. O gráfico é formado pelos três ramos descritos acima, com círculos abertos/fechados conforme indicado.

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