Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y=1ln x+ln (1x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = 1ln x + ln!l(1xr)
Logo, vamos usar a regra da cadeia, a derivada de ln x e propriedades de logaritmo para simplificar antes de derivar.

Passo 2

Usamos a identidade
ln!l(tfrac1xr) = -ln x
Assim
y = 1ln x - ln x

Passo 3

Derivamos o primeiro termo u = (ln x)^-1. Pela regra da cadeia,
ddxl[(ln x)^-1r] = -1cdot(ln x)^-2cdotddx(ln x) = -1(ln x)^2cdot1x = -1x(ln x)^2

Passo 4

Derivamos o segundo termo -ln x, que dá
ddxl[-ln xr] = -1x

Passo 5

Somando as derivadas, obtemos
y' = -1x(ln x)^2 ;-;1x = -1xl(1(ln x)^2+1r) = -1+(ln x)^2x,(ln x)^2

Resposta

f'(x) = -1+(ln x)^2x,(ln x)^2

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