Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y=(x^2-2 x3-4 x^3)^3

Passo 1

O enunciado dá
y = gl(x^2 - 2x3 - 4x^3gr)^3
e pede y' = f'(x). O conteúdo aqui é a aplicação da regra da cadeia (para a potência u^3) junto com a regra do quociente (para u=(x^2-2x)/(3-4x^3)).

Passo 2

Definimos
u = x^2 - 2x3 - 4x^3
de modo que
y = u^3
Pela regra da cadeia,
y' = 3,u^2 cdot u'

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente para
u = ND,
onde N = x^2 - 2x e D = 3 - 4x^3. Temos
N' = 2x - 2, D' = -12x^2,
então
u' = N',D - N,D'D^2 = (2x-2)(3-4x^3) - (x^2-2x)(-12x^2)(3-4x^3)^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador de u':
(2x-2)(3-4x^3) + 12x^2(x^2-2x) = (6x - 6 - 8x^4 + 8x^3) + (12x^4 -24x^3)
Agrupando termos semelhantes:
-8x^4 +12x^4 = 4x^4, 8x^3 -24x^3 = -16x^3, 6x -6 fica igual,
logo
u' = 4x^4 -16x^3 +6x -6(3-4x^3)^2

Passo 5

Substituindo em
y' = 3,u^2 ,u'
temos
y' = 3, gl(x^2 - 2x3 - 4x^3gr)^2 cdot 4x^4 -16x^3 +6x -6(3-4x^3)^2
Juntando denominações:
y' = 3,(x^2 - 2x)^2,(4x^4 -16x^3 +6x -6)(3-4x^3)^4
Fatorando 3 no numerador:
4x^4 -16x^3 +6x -6 = 2,(2x^4 -8x^3 +3x -3),
então
3,(4x^4 -16x^3 +6x -6) = 6,(2x^4 -8x^3 +3x -3)

Resposta

boxed y' = 6,(x^2 - 2x)^2,l(2x^4 -8x^3 +3x -3r)(3-4x^3)^4

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