Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y=ln ^3(5 x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = l(ln(5x^2+1)r)^3
O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia para compor a derivada de uma potência com uma função composta.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = ln(5x^2+1),
de modo que
y = u^3
Aplicaremos a Regra da Cadeia:
dydx = dydu,dudx

Passo 3

Calculamos dfracdydu tratando y = u^3:
dydu = 3,u^2

Passo 4

Calculamos dfracdudx tratando u = ln(5x^2+1). Como a derivada de ln(v) é tfracv'v, temos
v(x) = 5x^2+1, v'(x)=10x,
então
dudx = v'v = 10x5x^2+1

Passo 5

Fazendo a composição pela Regra da Cadeia e substituindo u=ln(5x^2+1):
dydx = 3,u^2,10x5x^2+1 = 30x,u^25x^2+1 = 30x,[ln(5x^2+1)]^25x^2+1

Resposta

y' = 30x,[ln(5x^2+1)]^25x^2+1

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