Verifique se as EDO’s abaixo são do tipo Bernoulli; em caso afirmativo, resolva a EDO.
e) y^prime+yx-raizy=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y^prime + yx - raizy = 0
e pede para verificar se é da forma de Bernoulli
y^prime + P(x),y = Q(x),y^n,
com nneq0,1. Aqui podemos escrever
y^prime + 1x,y = raizy,
ou seja P(x)=1/x, Q(x)=1 e n=1/2. Logo é uma EDO de Bernoulli com n=tfrac12. Para resolver, vamos usar a transformação padrão.

Passo 2

Na Bernoulli, definimos
u = y^1-n = y^1-tfrac12 = y^tfrac12
Derivando,
u^prime = 12,y^-tfrac12,y^prime Longrightarrow y^prime = 2,u,u^prime
Substituindo em
y^prime + 1xy = raizy,
tornando y=u^2 e raizy=u, obtemos
2u,u^prime + 1x,u^2 = u
Reorganizando,
2u,u^prime = u - u^2x Longrightarrow u^prime = 12l(1 - uxr),
ou seja
u^prime + 12x,u = 12

Passo 3

Agora temos uma EDO linear em u:
u^prime + 12x,u = 12
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(!integral 12x,dxr) = x^tfrac12
Multiplicando a EDO por mu:
x^tfrac12u^prime + 12x,x^tfrac12u = 12,x^tfrac12,
isto é
ddxl(x^tfrac12ur) = 12,x^tfrac12
Integramos:
x^tfrac12u = integral 12,x^tfrac12,dx = 13,x^tfrac32 + C
Logo
u = 13,x + C,x^-tfrac12

Passo 4

Voltando à variável original y, como u=y^1/2, temos
y^1/2 = x3 + C,x^-tfrac12 Longrightarrow y = l(x3 + C,x^-tfrac12r)^2

Resposta

boxedy(x) = l(tfracx3 + C,x^-tfrac12r)^2,
onde C é constante arbitrária e normalmente assume-se x>0 para x^-tfrac12 bem definido.

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