Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y=(4 x^3-5 x^2+2 x+1)^3

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = l(4x^3 - 5x^2 + 2x + 1r)^3
e pede a derivada y'=f'(x). O conteúdo chave é a regra da cadeia para derivar uma potência composta e a derivação de um polinômio.

Passo 2

Identificamos a função interna e a função externa da composição:
u(x) = 4x^3 - 5x^2 + 2x + 1, y = l(u(x)r)^3

Passo 3

Pela regra da cadeia, a derivada de y = u^3 é
y' = 3,u^2,dudx

Passo 4

Calculamos dfracdudx, que é a derivada do polinômio 4x^3 - 5x^2 + 2x + 1:
dudx = 12x^2 - 10x + 2

Passo 5

Substituindo em y' e simplificando fatores em comum:
y' = 3l(4x^3 - 5x^2 + 2x + 1r)^2,(12x^2 - 10x + 2)
Note que 12x^2 - 10x + 2 = 2,(6x^2 - 5x + 1), então
y' = 3l(4x^3 - 5x^2 + 2x + 1r)^2,l[2,(6x^2 - 5x + 1)r] = 6,(6x^2 - 5x + 1),l(4x^3 - 5x^2 + 2x + 1r)^2

Resposta

y' = 6,(6x^2 - 5x + 1),l(4x^3 - 5x^2 + 2x + 1r)^2

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