Calcule a derivada segunda
y=e^-x cos x

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de y=e^-xcos x. O conteúdo é derivação de produto e cadeia: vamos usar a regra do produto para diferenciar e^-x e cos x e, em seguida, repetir o processo para obter y''.

Passo 2

Calcular a primeira derivada aplicando regra do produto e cadeia:
y' = (e^-x)'cos x + e^-x(cos x)'
Como (e^-x)'=-e^-x e (cos x)'=-sin x, temos
y' = -e^-xcos x + e^-x(-sin x) Longrightarrow y' = -e^-x(cos x + sin x)

Passo 3

Agora diferenciamos y'=-e^-x(cos x + sin x) de novo, usando produto e cadeia:
y'' = l(-e^-xr)'(cos x + sin x) + l(-e^-xr)(cos x + sin x)'
Aqui l(-e^-xr)'=e^-x e (cos x + sin x)'=-sin x + cos x. Logo,
y'' = e^-x(cos x + sin x) + l(-e^-xr)(-sin x + cos x)
Ao expandir e agrupar termos semelhantes, os coeficientes de cos x se cancelam e ficamos com
y''=2,e^-xsin x

Resposta

y''=2e^-xsin x

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