Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
(y^2-9)^4=(4 x^2+3 x-1)^2

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
l(y^2-9r)^4 ;=;l(4x^2+3x-1r)^2
e pede y'=f'(x). O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita usando a regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x.
Para a esquerda, aplicamos a regra da cadeia duas vezes:
ddxl(y^2-9r)^4 =4l(y^2-9r)^3cdotddx(y^2-9) =4l(y^2-9r)^3cdot(2y,y') =8yl(y^2-9r)^3y'
Para a direita, também regra da cadeia:
ddxl(4x^2+3x-1r)^2 =2l(4x^2+3x-1r)cdot(8x+3)

Passo 3

Igualando as derivadas:
8yl(y^2-9r)^3y' =2l(4x^2+3x-1r)(8x+3)
Agora isolamos y':
y' =2l(4x^2+3x-1r)(8x+3)8yl(y^2-9r)^3

Passo 4

Fatoramos 2/8=1/4 para simplificar:
y' =l(4x^2+3x-1r)(8x+3)4,yl(y^2-9r)^3

Resposta

y'=l(4x^2+3x-1r)(8x+3)4,yl(y^2-9r)^3

Exercícios relacionados