Usando as propriedades e regras de derivação, encontre a derivada das funções:
h(theta)=cosec(theta)+e^theta cos (theta).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(theta)=csc(theta)+e^thetacos(theta)
Aqui vamos usar a regra da soma, a derivada de csc(theta) e a regra do produto para e^thetacos(theta).

Passo 2

Derivada do primeiro termo csc(theta). Sabemos que
ddthetal[csc(theta)r] =-csc(theta)cot(theta)

Passo 3

Derivada do segundo termo e^thetacos(theta) usando a regra do produto. Seja u(theta)=e^theta e v(theta)=cos(theta). Então
u'(theta)=e^theta, v'(theta)=-sin(theta),
e
ddthetal[e^thetacos(theta)r] =u'v+uv' =e^thetacos(theta)-e^thetasin(theta) =e^thetal(cos(theta)-sin(theta)r)

Passo 4

Agora aplicamos a regra da soma:
h'(theta) =ddtheta[csc(theta)] +ddtheta[e^thetacos(theta)] =-csc(theta)cot(theta) +e^thetal(cos(theta)-sin(theta)r)

Resposta

h'(theta) =-csc(theta)cot(theta) +e^thetal(cos(theta)-sin(theta)r)

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