Usando as propriedades e regras de derivação, encontre a derivada das funções:
g(t)=t^3 cos (e^t).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(t)=t^3cosl(e^tr)
Para resolver isso vamos usar duas regras: a regra do produto (para derivar t^3cdot cos(e^t)) e a regra da cadeia (para derivar cos(e^t)).

Passo 2

Aplicando a regra do produto em
g(t)=u(t),v(t),
onde u(t)=t^3 e v(t)=cosl(e^tr), obtemos
g'(t)=u'(t),v(t)+u(t),v'(t)
Como ;u'(t)=(t^3)'=3t^2, isso vira
g'(t)=3t^2cosl(e^tr)+t^3;v'(t)

Passo 3

Agora precisamos de v'(t), com v(t)=cosl(e^tr). Pela regra da cadeia, se v=cos(u) e u=e^t, então
v'=-sin(u),u' e u'=(e^t)'=e^t
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v'(t)=-sinl(e^tr),e^t

Passo 4

Substituindo v'(t) em g'(t), temos
g'(t)=3t^2cosl(e^tr) +t^3l(-sinl(e^tr),e^tr)
e, reorganizando,
g'(t)=3t^2cosl(e^tr) - t^3e^tsinl(e^tr)

Resposta

g'(t)=3t^2cosl(e^tr)-t^3e^tsinl(e^tr)

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