Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y=ln (e^x+1e^x-1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = ln!gl(e^x+1e^x-1gr)
ou seja, queremos y'=f'(x). Para isso vamos usar a regra do logaritmo e a regra da cadeia.

Passo 2

Usamos a propriedade
ln!gl(ABgr)=ln(A)-ln(B)
com A=e^x+1 e B=e^x-1. Assim
y = ln(e^x+1) - ln(e^x-1)

Passo 3

Derivando termo a termo e aplicando a regra da cadeia ( ddxln(u)=u'/u e ddxe^x=e^x), temos
y' = e^xe^x+1 - e^xe^x-1

Passo 4

Para somar as frações, colocamos denominador comum (e^x+1)(e^x-1)=e^2x-1. O numerador fica
e^x(e^x-1)-e^x(e^x+1) =e^xl((e^x-1)-(e^x+1)r) =e^x(-2) =-2e^x
Logo
y' = -2e^xe^2x-1

Passo 5

Podemos ainda notar que e^2x-1=e^x(e^x-e^-x), o que simplifica para
y' = -2e^xe^x(e^x-e^-x) = -2,e^x-e^-x,

Resposta

y' = -2e^xe^2x-1
ou, equiva<=ntemente, y' = -2e^x-e^-x

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