Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
x ln y-y ln x=1

Passo 1

O enunciado define y=f(x) de forma implícita pela equação
xln y ;-;yln x ;=;1
O conteúdo aqui é derivação implícita, usando a regra do produto e a derivada de ln. Vamos precisar reconhecer que y depende de x e que
ddx(ln y)=y'y, ddx(ln x)=1x

Passo 2

Derivamos ambos os lados de
xln y ;-;yln x ;=;1
em relação a x. Isso dá
ddx(xln y);-;ddx(yln x);=;0
Pela regra do produto:
ddx(xln y) =;1cdotln y ;+;xcdoty'y =ln y+xy,y',
ddx(yln x) =;y'cdotln x ;+;ycdot1x =y'ln x+yx

Passo 3

Substituindo na derivada total, obtemos
ln y+xyy';-;l(y'ln x+yxr);=;0
Expandindo e agrupando os termos com y':
ln y+xyy' - y'ln x - yx=0 ;;Longrightarrow;; xy,y' - y'ln x + ln y - yx=0
Logo
l(xy-ln xr),y' ;=;yx-ln y

Passo 4

Isolando y' ficamos com
y' = yx-ln y xy-ln x

Passo 5

Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por xy. Fazendo isso:
y' =yl(y - xln yr)xl(x - yln xr)

Resposta

boxed,y'=y,(y - xln y)x,(x - yln x),

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