Determine y^prime=f^prime(x), com as simplificações possíveis, sendo y=f(x) a expressão dada.
y=csc (3 x)x^3+1

Passo 1

O enunciado nos dá
y = dfraccsc(3x)x^3+1.
O conteúdo aqui é derivada de quociente (regra do quociente) e derivada de função composta (regra da cadeia, pois csc(3x) envolve 3x).

Passo 2

Definimos
u = csc(3x)
e
v = x^3 + 1.
Usando regra da cadeia e a derivada de csc, temos
u' = -csc(3x)cot(3x)cdot 3 = -3csc(3x)cot(3x),
e a derivada de v é
v' = 3x^2.

Passo 3

Pela regra do quociente,
y' = u'v - u,v'v^2
Substituindo u, u', v e v', obtemos
y' = -3csc(3x)cot(3x),(x^3+1) ;-;csc(3x),l(3x^2r)(x^3+1)^2

Passo 4

Fatorando -3csc(3x) no numerador, fica
y' = -3csc(3x)l[(x^3+1)cot(3x)+x^2r](x^3+1)^2,

Resposta

y' = -3csc(3x)l((x^3+1)cot(3x)+x^2r)(x^3+1)^2,

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