Se f(x) é contínua no intervalo [a, b] e diferenciável no intervalo (a, b), então existe algum ponto c in(a, b) tal que:
f^prime(c)=f(b)-f(a)b-a
Utilize o resultado acima para mostrar que, no caso em que f(x)=x^2, o número c é a média aritmética de a e b.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^2 definida em [a,b]. Sabemos pelo Teorema do Valor Médio que, sendo f contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto cin(a,b) tal que
f'(c)=f(b)-f(a)b-a
Nosso objetivo é usar esse teorema para encontrar esse c.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de f(x)=x^2:
f'(x)=2x
Pelo Teorema do Valor Médio, no ponto c deve valer
2c = b^2 - a^2b - a
Observe que
b^2 - a^2 = (b - a)(b + a),
então
2c = (b - a)(b + a)b - a = b + a

Passo 3

Isolando c, obtemos
c = b + a2,
ou seja, c é exatamente a média aritmética de a e b.

Resposta

c = dfraca + b2

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