Se
é contínua no intervalo
e diferenciável no intervalo
, então existe algum ponto
tal que:
Utilize o resultado acima para mostrar que, no caso em que
, o número
é a média aritmética de
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida em
. Sabemos pelo Teorema do Valor Médio que, sendo
contínua em
e diferenciável em
, existe algum ponto
tal que
Nosso objetivo é usar esse teorema para encontrar esse
.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Pelo Teorema do Valor Médio, no ponto
deve valer
Observe que
então
Passo 3
Isolando
, obtemos
ou seja,
é exatamente a média aritmética de
e
.