Determine as primeiras derivadas parciais das seguintes funções em relação a cada uma de suas variáveis:
f(x, y, z)=ln (x^2-2 cos y+5 z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar as primeiras derivadas parciais da função $ f(x, y, z) = \ln \left(x^{2} - 2 \cos y + 5 z\right) $ em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo de derivadas parciais, onde a gente olha como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo as outras fixas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função logarítmica. Se temos $ f(u) = \ln(u) $, a derivada de $ f $ em relação a $ u $ é $ f’(u) = \frac{1}{u} $. Aqui, $ u $ é uma função de $ x $, $ y $ ou $ z $.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a $ x $. Para isso, identificamos $ u = x^{2} - 2 \cos y + 5 z $. Usamos a regra da cadeia:
x
Agora, calculamos $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
u = x^2 - 2 cos y + 5 z
Então:
partial fpartial x = 1u cdot partial upartial x

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a $ y $. Novamente, usamos a regra da cadeia com $ u = x^{2} - 2 \cos y + 5 z $:
y
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
u = x^2 - 2 cos y + 5 z
Portanto:
partial fpartial y = 1u cdot partial upartial y

Passo 5

Finalmente, vamos derivar em relação a $ z $. Usamos a regra da cadeia com $ u = x^{2} - 2 \cos y + 5 z $:
z
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial z} $:
u = x^2 - 2 cos y + 5 z
Então:
partial fpartial z = 1u cdot partial upartial z

Resposta

As primeiras derivadas parciais da função $ f(x, y, z) $ são:
f(x, y, z)
partial fpartial x = 2xx^2 - 2 cos y + 5 z
partial fpartial y = 2 sin yx^2 - 2 cos y + 5 z

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