Determine as primeiras derivadas parciais das seguintes funções em relação a cada uma de suas variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar as primeiras derivadas parciais da função $ f(x, y, z) = \ln \left(x^{2} - 2 \cos y + 5 z\right) $ em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo de derivadas parciais, onde a gente olha como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo as outras fixas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função logarítmica. Se temos $ f(u) = \ln(u) $, a derivada de $ f $ em relação a $ u $ é $ f’(u) = \frac{1}{u} $. Aqui, $ u $ é uma função de $ x $, $ y $ ou $ z $.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a $ x $. Para isso, identificamos $ u = x^{2} - 2 \cos y + 5 z $. Usamos a regra da cadeia:
Agora, calculamos $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar em relação a $ y $. Novamente, usamos a regra da cadeia com $ u = x^{2} - 2 \cos y + 5 z $:
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Portanto:
Passo 5
Finalmente, vamos derivar em relação a $ z $. Usamos a regra da cadeia com $ u = x^{2} - 2 \cos y + 5 z $:
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial z} $:
Então:
Resposta
As primeiras derivadas parciais da função $ f(x, y, z) $ são: