Use derivação implícita para achar partial zpartial x e partial zpartial y :
x^2+4 y^2+9 z^2=1

Passo 1

O problema dá a superfície implícita x^2+4y^2+9z^2=1 e pede para encontrarmos partial z/partial x e partial z/partial y usando diferenciação implícita, ou seja, vamos tratar z=f(x,y) sem isolar explicitamente z.

Passo 2

Vamos usar a ideia de diferenciação implícita: derivamos ambos os lados da equação em relação a x (ou y), lembrando que z depende de x,y e aplicamos a regra da cadeia, ou seja, ddx[z^2]=2zpartial zpartial x.

Passo 3

Derivando x^2+4y^2+9z^2=1 em relação a x e lembrando que y é constante:
2x + 0 + 18zpartial zpartial x = 0
Isolando partial z/partial x:
18zpartial zpartial x = -2x implies partial zpartial x = -2x18z = -x9z

Passo 4

Agora derivamos x^2+4y^2+9z^2=1 em relação a y, tratando x como constante:
0 + 8y + 18zpartial zpartial y = 0
E isolamos partial z/partial y:
18zpartial zpartial y = -8y implies partial zpartial y = -8y18z = -4y9z

Resposta

partial zpartial x = -x9z, partial zpartial y = -4y9z

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