Determine as primeiras derivadas parciais das seguintes funções em relação a cada uma de suas variáveis:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que envolve uma integral definida:
O objetivo é encontrar as primeiras derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e a $ y $. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e entender como derivar integrais que têm os limites como variáveis.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
Pense na integral como sendo uma área sob a curva de $ e{-t{2}} \cos t $ entre os limites $ x $ e $ y $. Quando derivamos em relação a $ x $, estamos vendo como essa área muda quando movemos o limite inferior. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada em relação ao limite inferior é o negativo da função avaliada nesse limite.
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que é $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Aqui, estamos vendo como a área muda quando movemos o limite superior $ y $. De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada em relação ao limite superior é simplesmente a função avaliada nesse limite.
Portanto,
Resposta
As primeiras derivadas parciais são:
e