Calcule os seguintes limites ou mostre que eles não existem:
lim (x, y) (0,0) y^5 cos (x^2)x^4+y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) y^5 cos (x^2)x^4+y^4
Esse exercício está no tópico de cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando as variáveis x e y se aproximam de zero, além de utilizar algumas técnicas de simplificação de expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
y^5 cos (x^2)x^4+y^4
Queremos saber o que acontece com essa fração quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $.

Passo 3

Vamos lembrar que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
-1 <= cos(x^2) <= 1
Isso significa que $ \cos(x^{2}) $ não vai afetar o comportamento assintótico do numerador de forma significativa quando $ x $ se aproxima de 0, já que está limitado.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a expressão em coordenadas polares para facilitar a análise. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Onde $ r $ é a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo.

Passo 5

Substituindo $ x $ e $ y $ na nossa expressão:
x
Simplificando os termos:
y

Passo 6

Podemos cancelar um fator de $ r^{4} $ no numerador e no denominador:
r^4

Passo 7

Agora, observe que $ \cos(r^{2} \cos^{2}(\theta)) $ tende a 1 quando $ r $ tende a 0, porque $ r^{2} $ vai a zero:
cos(r^2 cos^2(theta))
Então, a expressão se aproxima de:
r

Passo 8

Agora, vemos que a expressão depende de $ r $ multiplicado por uma função trigonométrica que é limitada (não cresce sem limites). Quando $ r $ tende a 0, todo o termo se aproxima de 0, independentemente do valor de $ \theta $.

Passo 9

Portanto, concluímos que:
lim (x, y) (0,0) y^5 cos (x^2)x^4+y^4 = 0

Resposta

O limite é igual a $ 0 $.

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