Calcule os seguintes limites ou mostre que eles não existem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício está no tópico de cálculo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando as variáveis
e
se aproximam de zero, além de utilizar algumas técnicas de simplificação de expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dada:
Queremos saber o que acontece com essa fração quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $.
Passo 3
Vamos lembrar que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
Isso significa que $ \cos(x^{2}) $ não vai afetar o comportamento assintótico do numerador de forma significativa quando $ x $ se aproxima de 0, já que está limitado.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a expressão em coordenadas polares para facilitar a análise. Nas coordenadas polares, temos:
Onde $ r $ é a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo.
Passo 5
Substituindo $ x $ e $ y $ na nossa expressão:
Simplificando os termos:
Passo 6
Podemos cancelar um fator de $ r^{4} $ no numerador e no denominador:
Passo 7
Agora, observe que $ \cos(r^{2} \cos^{2}(\theta)) $ tende a 1 quando $ r $ tende a 0, porque $ r^{2} $ vai a zero:
Então, a expressão se aproxima de:
Passo 8
Agora, vemos que a expressão depende de $ r $ multiplicado por uma função trigonométrica que é limitada (não cresce sem limites). Quando $ r $ tende a 0, todo o termo se aproxima de 0, independentemente do valor de $ \theta $.
Passo 9
Portanto, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a $ 0 $.