Determine as primeiras derivadas parciais de z=sen(3 x^2+4 y)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as primeiras derivadas parciais da função $ z = \sin\left(3x^{2} + 4y\right) $. Isso envolve o conteúdo de derivadas parciais em cálculo, e vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $. Isso significa que vamos tratar $ y $ como uma constante.
A função pode ser escrita como $ z = \sin(u) $, onde $ u = 3x^{2} + 4y $.
Aplicando a regra da cadeia:
z
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
x
Então:
y

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $. Desta vez, vamos tratar $ x $ como uma constante.
Novamente, temos $ z = \sin(u) $, onde $ u = 3x^{2} + 4y $.
Aplicando a regra da cadeia:
z
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
y
Então:
x

Resposta

As primeiras derivadas parciais são:
partial zpartial x = 6x cos(3x^2 + 4y)
partial zpartial y = 4 cos(3x^2 + 4y)

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