A função C(t)=K(e^-a t-e^-b t), onde a, b e K são constantes positivas e b>a, é usada para modelar a concentração de uma droga injetada na corrente sanguínea no instante t.
Mostre que lim t +infty C(t)=0.

Passo 1

Neste exercício temos a função de concentração
também escrita em bloco:
C(t)=Kl(e^-at-e^-btr),
onde as constantes satisfazem a>0, b>0 e b>a. O que precisamos
descobrir é o comportamento de C(t) quando tto+infty. O conteúdo
da matéria envolve cálculo de limites de funções exponenciais.

Passo 2

Sabemos da teoria de limites que, se alpha>0, então
limtto+inftye^-alpha t=0
Isso ocorre porque o expoente -alpha t tende a -infty e a função exponencial
se aproxima de zero à medida que seu argumento vai para -infty.

Passo 3

Aplicando essa propriedade às duas parcelas de C(t):
limtto+inftye^-at=0
e
limtto+inftye^-bt=0
Como K é constante, podemos escrevê-las dentro da expressão de C(t).

Passo 4

Juntando os resultados temos
limtto+inftyC(t)=limtto+inftyKl(e^-at-e^-btr) =Kl(0-0r)=0

Resposta

0

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