Encontre a soma das séries a seguir:
(d) sumn=2^infty x^2-n2^n.

Passo 1

O enunciado pede a soma da série sumn=2^infty x^2-n2^n. Vamos usar conteúdos de soma de progressão geométrica e soma de séries do tipo sum n r^n, que são clássicos em séries de potências.

Passo 2

Primeiro, separamos a soma em duas partes: a parte com x^2 e a parte com n. Assim,
sumn=2^infty x^2-n2^n = sumn=2^infty x^22^n ; - ; sumn=2^infty n2^n

Passo 3

Para a primeira parte note que sumn=2^infty 12^n é uma PG de razão 12 com primeiro termo 14. Logo,
sumn=2^infty 12^n = tfrac141 - tfrac12 = tfrac12Multiplicando por x^2, a soma fica x^2 cdot tfrac12.

Passo 4

Para a segunda parte usamos a fórmula conhecida
sumn=1^infty n r^n = r(1 - r)^2,válida para |r|<1. Com r=tfrac12 temos
sumn=1^infty n2^n = 2Então
sumn=2^infty n2^n = 2 - 12 = 32

Passo 5

Juntando tudo: a série original vale
x^2 cdot tfrac12 - tfrac32 = x^2 - 32

Resposta

x^2 - 32

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