As dimensões de uma caixa são medidas e obtemos 10 cm, 12 cm, e 10 cm e as medidas são corretas até 0,02 cm. Calcule aproximadamente o erro máximo cometido no cálculo do volume da caixa a partir das medidas dadas. Ache também o erro percentual aproximado

Passo 1

Temos uma caixa com arestas medidas como 10 cm, 12 cm e 10 cm, cada uma com erro de medida até 0,02 cm. Vamos usar propagação de erros via diferenciais para aproximar o erro máximo no volume e depois calcular o erro percentual.

Passo 2

O volume da caixa é dado por
V(a,b,c)=a,b,c
Suas derivadas parciais são
partial Vpartial a=b,c, partial Vpartial b=a,c, partial Vpartial c=a,b
O diferencial total aproxima o erro no volume:
dVapprox partial Vpartial a,da + partial Vpartial b,db + partial Vpartial c,dc

Passo 3

Avaliaremos em a=10 cm, b=12 cm, c=10 cm e |da|=|db|=|dc|=0,02 cm. Logo,
|dV|approx (12cdot10 + 10cdot10 + 10cdot12)times0.02 = 340times0.02 = 6,8
Isso significa um erro máximo de 6,8 cm³.

Passo 4

Para obter o erro percentual, dividimos pelo volume nominal V=10·12·10=1200 cm³:
erro percentual approx 6,81200times100% approx0,57%

Resposta

Erro máximo no volume ≈ 6,8 cm³; erro percentual ≈ 0,57 %.

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