Determine as primeiras derivadas parciais de
Passo 1
Temos a função z(x,y)=sen(x+y)⋅cos(x−y). O conteúdo aqui é derivadas parciais de uma função de duas variáveis, em que vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para calcular ∂z/∂x e ∂z/∂y.
Passo 2
Definimos u(x,y)=sen(x+y) e v(x,y)=cos(x−y). Para ∂z/∂x, aplicamos a regra do produto: ∂z/∂x=∂u/∂x⋅v+u⋅∂v/∂x. Usando a regra da cadeia, ∂u/∂x=cos(x+y)⋅1=cos(x+y) e ∂v/∂x=−sin(x−y)⋅1=−sin(x−y). Logo, para ∂z/∂x temos
Passo 3
Agora, para ∂z/∂y, reaplicamos a regra do produto: ∂z/∂y=∂u/∂y⋅v+u⋅∂v/∂y. Ainda pela cadeia, ∂u/∂y=cos(x+y)⋅1=cos(x+y) e ∂v/∂y=−sin(x−y)⋅(−1)=+sin(x−y). Portanto,
Passo 4
Como bônus, usando as identidades trigonométricas de soma e diferença de cossenos, nota-se que
e
.
Resposta
As derivadas parciais são