Determine as primeiras derivadas parciais de z=sen(x+y) cos (x-y)

Passo 1

Temos a função z(x,y)=sen(x+y)⋅cos(x−y). O conteúdo aqui é derivadas parciais de uma função de duas variáveis, em que vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para calcular ∂z/∂x e ∂z/∂y.

Passo 2

Definimos u(x,y)=sen(x+y) e v(x,y)=cos(x−y). Para ∂z/∂x, aplicamos a regra do produto: ∂z/∂x=∂u/∂x⋅v+u⋅∂v/∂x. Usando a regra da cadeia, ∂u/∂x=cos(x+y)⋅1=cos(x+y) e ∂v/∂x=−sin(x−y)⋅1=−sin(x−y). Logo, para ∂z/∂x temos
partial zpartial x=cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y)

Passo 3

Agora, para ∂z/∂y, reaplicamos a regra do produto: ∂z/∂y=∂u/∂y⋅v+u⋅∂v/∂y. Ainda pela cadeia, ∂u/∂y=cos(x+y)⋅1=cos(x+y) e ∂v/∂y=−sin(x−y)⋅(−1)=+sin(x−y). Portanto,
partial zpartial y=cos(x+y)cos(x-y)+sin(x+y)sin(x-y)

Passo 4

Como bônus, usando as identidades trigonométricas de soma e diferença de cossenos, nota-se que cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y)=cos(2x) e cos(x+y)cos(x-y)+sin(x+y)sin(x-y)=cos(2y).

Resposta

As derivadas parciais são
partial zpartial x=cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y),
partial zpartial y=cos(x+y)cos(x-y)+sin(x+y)sin(x-y).

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