Encontre a derivação mista de z=x^2 y^5+9 x y^3+12 x-4 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivação mista da função $ z = x^{2} y^{5} + 9 x y^{3} + 12 x - 4 y $. Isso significa que vamos calcular uma derivada que envolve as duas variáveis, $ x $ e $ y $. Para isso, precisamos entender derivadas parciais, que são derivadas de funções com mais de uma variável, derivando com respeito a uma variável de cada vez enquanto mantém as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a $ x $.
A função é:
z
Derivando cada termo em relação a $ x $:
  • $ \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y^{5}) = 2x y^{5} $ (usamos a regra da potência)
  • $ \frac{\partial}{\partial x} (9 x y^{3}) = 9 y^{3} $ (a derivada de $ x $ é 1)
  • $ \frac{\partial}{\partial x} (12 x) = 12 $ (a derivada de $ x $ é 1)
  • $ \frac{\partial}{\partial x} (-4 y) = 0 $ (como $ y $ é constante, a derivada é zero)
Então, a derivada parcial em relação a $ x $ fica:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial dessa derivada em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) $. Isso vai nos dar a derivação mista.
Temos:
y
Derivando cada termo em relação a $ y $:
  • $ \frac{\partial}{\partial y} (2x y^{5}) = 10x y^{4} $ (usamos a regra da potência e tratamos $ x $ como constante)
  • $ \frac{\partial}{\partial y} (9 y^{3}) = 27 y^{2} $ (derivada da potência)
  • $ \frac{\partial}{\partial y} (12) = 0 $ (constante em relação a $ y $)
Então, a derivada mista fica:
partialpartial y ( partial zpartial x )

Resposta

A derivada mista de $ z $ é:
z

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