Determine as primeiras derivadas parciais de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as primeiras derivadas parciais da função $ z = 3x^{2} \sin 2y + \cos (x + y) $. Isso está ligado à matéria de cálculo diferencial, especificamente às derivadas parciais que são úteis quando lidamos com funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e aplicadas a combinações de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante.
A função é $ z = 3x^{2} \sin 2y + \cos (x + y) $.
Derivando termo a termo em relação a $ x $:
- Para $ 3x^{2} \sin 2y $, a derivada em relação a $ x $ é $ 6x \sin 2y $ (porque a derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ e multiplicamos por 3).
- Para $ \cos (x + y) $, a derivada em relação a $ x $ é $ -\sin (x + y) $ (usamos a regra da cadeia: a derivada de $ \cos(u) $ é $ -\sin(u) \cdot u’ $, onde $ u = x + y $ e $ u’ = 1 $).
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Dessa vez, tratamos $ x $ como uma constante.
Derivando termo a termo em relação a $ y $:
- Para $ 3x^{2} \sin 2y $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin 2y $ é $ 2 \cos 2y $, então temos $ 3x^{2} \cdot 2 \cos 2y = 6x^{2} \cos 2y $.
- Para $ \cos (x + y) $, a derivada em relação a $ y $ é $ -\sin (x + y) $ (similar ao que fizemos com $ x $).
Resposta
As primeiras derivadas parciais da função são:
e