Determine as primeiras três iteradas das aproximações sucessivas de Picard correspondentes a:

Passo 1

O enunciado pede as três primeiras aproximações de Picard para a EDO
y'=e^t+t^2, y(0)=0,
o conteúdo é o método de Picard, em que definimos
yn+1(t)=y(0)+integral0^t f(s,yn(s)),ds

Passo 2

Começamos escolhendo a aproximação inicial igual à condição inicial, isto é
y0(t)=0

Passo 3

A seguir calculamos
y1(t)=y(0)+integral0^tl(e^s+s^2r),ds=integral0^t e^s,ds+integral0^t s^2,ds

Passo 4

Fazendo as integrais separadamente
a) integral0^t e^s,ds=e^t-1
b) integral0^t s^2,ds=tfract^33
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y1(t)=e^t-1+t^33

Passo 5

Como o termo f(t,y)=e^t+t^2 não depende de y, toda iteração posterior repete a mesma integral. Assim
y2(t)=y3(t)=e^t-1+t^33

Resposta

As primeiras três iterações são:
y_0(t)=0,
y_1(t)=et-1+\tfrac{t3}{3},
y_2(t)=et-1+\tfrac{t3}{3}.

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