Resolva a equação diferencial
y^prime=t yt^2-y^2
Além disso, conclua que para cada ponto (t0, y0) em que y0 neq pm t0, existe uma, e somente uma, solução desta equação tal que y(t0)=y0.

Passo 1

Estamos lidando com a EDO
y' = t,yt^2 - y^2,
que é uma equação homogênea de grau zero (ou seja, substituindo ttolambda t e ytolambda y o lado direito não muda). Para resolver, vamos usar a técnica de redução de ordem com a troca de variável v = y/t.

Passo 2

Definindo
v = yt,
temos
y = v,t,
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y' = v + tdvdt
Substituindo na EDO original:
v + tdvdt = t,(v t)t^2 - (v t)^2 = v1 - v^2
Rearranjando,
tdvdt = v1 - v^2 - v = v^31 - v^2

Passo 3

Agora separamos as variáveis v e t:
1 - v^2v^3,dv = dtt
Note que $ (1 - v2)/v3 = v^{-3} - v^{-1}$, o que facilita a integração.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integrall(v^-3 - v^-1r),dv = integral dtt
O lado esquerdo dá
integral v^-3dv - integral v^-1dv = -12v^2 - ln|v|,
e o direito é ln|t| + C. Assim,
-12v^2 - ln|v| = ln|t| + C

Passo 5

Voltando a y e t com v = y/t, temos
-12t^2y^2 - lnl|ytr| = ln|t| + C
Reorganizando e cancelando ln|t| em ambos os lados, obtemos (renomeando a constante)
t^22y^2 + ln|y| = C1,
o que é a forma implícita da solução geral.

Passo 6

Dado um ponto inicial (t0,y0) com y0 neq pm t0, basta escolher
C1 = t0^22y0^2 + ln|y0|
para que a condição y(t0)=y0 seja satisfeita. Além disso, como a função f(t,y)=ty/(t^2-y^2) e sua derivada parcial em y são contínuas sempre que t^2neq y^2, o teorema de existência e unicidade garante que existe exatamente uma solução passando por esse ponto.

Passo 7

A solução geral fica então dada implicitamente por
t^22y^2 + ln|y| = C1,
e para cada (t0,y0) com y0neqpm t0 há uma única solução satisfazendo y(t0)=y0.

Resposta

A solução geral implícita é
t^22y^2 + ln|y| = C,
e, para cada condição inicial (t0,y0) com y0neqpm t0, existe uma e apenas uma solução que satisfaz y(t0)=y0.

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