Além disso, conclua que para cada ponto em que , existe uma, e somente uma, solução desta equação tal que .
Passo 1
Estamos lidando com a EDO
que é uma equação homogênea de grau zero (ou seja, substituindo e o lado direito não muda). Para resolver, vamos usar a técnica de redução de ordem com a troca de variável .
Passo 2
Definindo
temos
logo
Substituindo na EDO original:
Rearranjando,
Passo 3
Agora separamos as variáveis e :
Note que $ (1 - v2)/v3 = v^{-3} - v^{-1}$, o que facilita a integração.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
O lado esquerdo dá
e o direito é . Assim,
Passo 5
Voltando a e com , temos
Reorganizando e cancelando ln|t| em ambos os lados, obtemos (renomeando a constante)
t^22y^2 + ln|y| = C1,
o que é a forma implícita da solução geral.
Passo 6
Dado um ponto inicial (t0,y0) com y0 neq pm t0, basta escolher
C1 = t0^22y0^2 + ln|y0|
para que a condição y(t0)=y0 seja satisfeita. Além disso, como a função f(t,y)=ty/(t^2-y^2) e sua derivada parcial em y são contínuas sempre que t^2neq y^2, o teorema de existência e unicidade garante que existe exatamente uma solução passando por esse ponto.
Passo 7
A solução geral fica então dada implicitamente por
t^22y^2 + ln|y| = C1,
e para cada (t0,y0) com y0neqpm t0 há uma única solução satisfazendo y(t0)=y0.
Resposta
A solução geral implícita é
t^22y^2 + ln|y| = C,
e, para cada condição inicial (t0,y0) com y0neqpm t0, existe uma e apenas uma solução que satisfaz y(t0)=y0.