(2,0) Determine os 5 primeiros termos de cada sequência; e se a sequência é converge ou divergente; se for convergente ache o limite:
a_{n}=\operatorname{tg}\left(\frac{2 n \pi}{1+8 n}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a sequência \displaystyle a_{n}=\tan\!\left(\frac{2 n \pi}{1+8 n}\right) e pede:
  • Determinar os 5 primeiros termos da sequência (presumo início em n=1);
  • Dizer se a sequência é convergente ou divergente; se for convergente, calcular o limite.
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula geral de cada termo é \displaystyle a_{n}=\tan\!\left(\frac{2 n \pi}{1+8 n}\right).
  • Quer-se explicitamente os termos para n=1,2,3,4,5 e o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Calcular os 5 primeiros termos em forma exata (usando a expressão dada) e também aproximações decimais razoáveis para ver o comportamento numérico.
Para n=1:
a_{1}=\tan\!\left(\frac{2\cdot1\cdot\pi}{1+8\cdot1}\right)=\tan\!\left(\frac{2\pi}{9}\right).
Aproximação: \displaystyle \tan\!\left(\frac{2\pi}{9}\right)\approx 0{,}839099631.
Para n=2:
a_{2}=\tan\!\left(\frac{4\pi}{1+16}\right)=\tan\!\left(\frac{4\pi}{17}\right).
Aproximação: \displaystyle \tan\!\left(\frac{4\pi}{17}\right)\approx 0{,}912 (arredondamento a três casas).
Para n=3:
a_{3}=\tan\!\left(\frac{6\pi}{1+24}\right)=\tan\!\left(\frac{6\pi}{25}\right).
Aproximação: \displaystyle \tan\!\left(\frac{6\pi}{25}\right)\approx 0{,}939.
Para n=4:
a_{4}=\tan\!\left(\frac{8\pi}{1+32}\right)=\tan\!\left(\frac{8\pi}{33}\right).
Aproximação: \displaystyle \tan\!\left(\frac{8\pi}{33}\right)\approx 0{,}954.
Para n=5:
a_{5}=\tan\!\left(\frac{10\pi}{1+40}\right)=\tan\!\left(\frac{10\pi}{41}\right).
Aproximação: \displaystyle \tan\!\left(\frac{10\pi}{41}\right)\approx 0{,}963.
Observação: deixei os valores exatos em termos de \tan de ângulos racionais múltiplos de \pi e mostrei aproximações para orientar a intuição. Esses números mostram que os termos estão crescendo e se aproximando de 1.

Passo 3

Estudar o limite do argumento do tangente. Defina
\theta_{n}=\frac{2 n \pi}{1+8 n}.
Para entender o comportamento quando n\to\infty, divida numerador e denominador por n:
\theta_{n}=\frac{2\pi}{\frac{1}{n}+8}.
Como \displaystyle \frac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\theta_{n}=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Usar continuidade da função tangente no ponto limite e verificar que não há problema de indefinição:
  • Para todo n\ge 1 temos \theta_{n}>0. Mostra-se também que \theta_{n}<\dfrac{\pi}{2} para todo n: comparando,
\frac{2 n \pi}{1+8 n}<\frac{\pi}{2}
é equivalente (multiplicando ambos os lados por \dfrac{1+8n}{\pi}>0) a
2n<\frac{1+8n}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 4n<1+8n\quad\Longleftrightarrow\quad 0<1+4n,
que é verdade para todo n\ge1. Logo \theta_{n}\in(0,\pi/2) sempre.
  • A função \tan(x) é contínua e estritamente crescente no intervalo (0,\pi/2). Como \theta_{n}\to\pi/4\in(0,\pi/2), a continuidade permite passar o limite para dentro da tangente:
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\tan(\theta_{n})=\tan\!\left(\lim_{n\to\infty}\theta_{n}\right)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
E \displaystyle \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.

Passo 5

Argumento alternativo (rápido) sobre monotonicidade e limite superior:
  • Como \theta_{n}=\dfrac{2\pi}{8+1/n}, o denominador 8+1/n decresce com n, logo \theta_{n} é crescente em n. Como \tan é crescente em (0,\pi/2), resulta que a_{n}=\tan(\theta_{n}) é uma sequência crescente.
  • Além disso, para todo n tem-se \theta_{n}<\pi/4 (porque \theta_n\to\pi/4 por baixo), então a_{n}<1 para todo n. Assim a_{n} é crescente e limitada superiormente por 1, logo converge; pelo passo anterior o limite é 1.

Resposta

\displaystyle a_{1}=\tan\!\left(\frac{2\pi}{9}\right)\approx 0{,}839099631,\quad a_{2}=\tan\!\left(\frac{4\pi}{17}\right)\approx 0{,}912,\quad a_{3}=\tan\!\left(\frac{6\pi}{25}\right)\approx 0{,}939,\quad a_{4}=\tan\!\left(\frac{8\pi}{33}\right)\approx 0{,}954,\quad a_{5}=\tan\!\left(\frac{10\pi}{41}\right)\approx 0{,}963
Convergente, \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=1

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