(2,0) Determine os 5 primeiros termos de cada sequência; e se a sequência é converge ou divergente; se for convergente ache o limite:
a_{n}=\operatorname{tg}\left(\frac{2 n \pi}{1+8 n}\right)
a_{n}=\operatorname{tg}\left(\frac{2 n \pi}{1+8 n}\right)
Passo 1
O enunciado fornece a sequência
e pede:
- Determinar os 5 primeiros termos da sequência (presumo início em
); - Dizer se a sequência é convergente ou divergente; se for convergente, calcular o limite.
Informações relevantes dadas:
- A fórmula geral de cada termo é
. - Quer-se explicitamente os termos para
e o comportamento quando .
Passo 2
Calcular os 5 primeiros termos em forma exata (usando a expressão dada) e também aproximações decimais razoáveis para ver o comportamento numérico.
Para
:
Aproximação:
.
Para
:
Aproximação:
(arredondamento a três casas).
Para
:
Aproximação:
.
Para
:
Aproximação:
.
Para
:
Aproximação:
.
Observação: deixei os valores exatos em termos de
de ângulos racionais múltiplos de
e mostrei aproximações para orientar a intuição. Esses números mostram que os termos estão crescendo e se aproximando de
.
Passo 3
Estudar o limite do argumento do tangente. Defina
Para entender o comportamento quando
, divida numerador e denominador por
:
Como
quando
, segue que
Passo 4
Usar continuidade da função tangente no ponto limite e verificar que não há problema de indefinição:
- Para todo
temos . Mostra-se também que para todo : comparando,
é equivalente (multiplicando ambos os lados por
) a
que é verdade para todo
. Logo
sempre.
- A função
é contínua e estritamente crescente no intervalo . Como , a continuidade permite passar o limite para dentro da tangente:
E
.
Passo 5
Argumento alternativo (rápido) sobre monotonicidade e limite superior:
- Como
, o denominador decresce com , logo é crescente em . Como é crescente em , resulta que é uma sequência crescente. - Além disso, para todo
tem-se (porque por baixo), então para todo . Assim é crescente e limitada superiormente por , logo converge; pelo passo anterior o limite é .
Resposta
Convergente,