(3,0) Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes; se for convergente; determine a soma:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\cdot \ln n}
é convergente ou divergente; se for convergente, determinar a soma.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • A série começa em n=2.
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n\ln n}.
    As perguntas que vamos responder:
  1. A série converge ou diverge?
  2. Se convergir, qual é a soma?

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teste da Integral (integral test). Por que? Porque os termos são positivos e a função correspondente f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} é natural de integrar em [2,\infty); o teste da integral é um método padrão e direto para séries com termos do tipo racional em x e \ln x. Mais adiante apresento um reforço com outro teste (Cauchy condensation) como verificação alternativa.
Mini-aula rápida sobre o Teste da Integral:
  • Teorema (teste da integral): Seja f(x) contínua, positiva e decrescente em [N,\infty). Defina a_n=f(n). Então a série \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx converge (tem valor finito).
  • Intuição: somar áreas de retângulos de base 1 e altura f(n) se comporta, em termos de convergência, como integrar f.

Passo 3

Verificar as hipóteses do teste para f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} em [2,\infty).
  • Positividade: para x\ge2 temos \ln x>0 e x>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: f(x) é contínua para x>1 (não há singularidade em x\ge2), portanto contínua em [2,\infty).
  • Monotonia decrescente: calcular a derivada para mostrar que f é decrescente.
    A função é f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}. Usando a regra do quociente (ou produto), obtém-se f'(x) = -\frac{\ln x + 1}{x^{2}(\ln x)^{2}}.Para x\ge2 tem-se \ln x>0, então \ln x+1>0 e x^{2}(\ln x)^{2}>0. Portanto f'(x)<0 em [2,\infty). Assim f é decrescente.
    Portanto as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicar o Teste da Integral: analisar a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,dx.
Fazer a substituição padrão para integrar essa função. Seja \;u=\ln x\;. Então \;du=\dfrac{dx}{x}\;. Assim
\int_{2}^{t} \frac{1}{x\ln x}\,dx = \int_{\ln 2}^{\ln t} \frac{1}{u}\,du.
A integral à direita é conhecida (é logaritmo):
\int_{\ln 2}^{\ln t} \frac{1}{u}\,du = \left.\ln|u|\right|_{u=\ln 2}^{u=\ln t} = \ln(\ln t) - \ln(\ln 2).
Agora tomamos o limite quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty} \big(\ln(\ln t) - \ln(\ln 2)\big) = \lim_{t\to\infty} \ln(\ln t) - \ln(\ln 2).
Como \ln t \to \infty quando t\to\infty, temos \ln(\ln t)\to\infty. Logo a integral diverge para +\infty.

Passo 5

Conclusão pelo Teste da Integral: como \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{x\ln x}\,dx diverge, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}
também diverge. Ou seja, os termos agregam área infinita; a soma parcial cresce sem limite.

Passo 6

Verificação alternativa (Cauchy condensation) — mini-aula e aplicação rápida:
  • Teorema de condensação de Cauchy: se (a_n) é uma sequência positiva e decrescente, então \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a série condensada \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k}a_{2^{k}} converge.
  • Aplicando a a_n=\dfrac{1}{n\ln n}: para k\ge1, 2^{k} a_{2^{k}} = 2^{k}\cdot \frac{1}{2^{k}\ln(2^{k})} = \frac{1}{k\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{1}{k}.Então a série condensada é \dfrac{1}{\ln 2}\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k}, que é um múltiplo da série harmônica e diverge. Portanto, pela condensação, a série original diverge também. Isso confirma o resultado do teste da integral.

Passo 7

Interpretação final e observação prática: a série diverge lentamente (os termos vão a zero muito devagar, apenas como 1/(n\ln n)), mas isso já é suficiente para que a soma parcial tenda a infinito. Como diverge, não existe soma finita a ser calculada.

Resposta

Divergente.

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