(3,0) Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes; se for convergente; determine a soma:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente; se for convergente, determinar a soma.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
- A série começa em
. - O termo geral é
.
As perguntas que vamos responder:
- A série converge ou diverge?
- Se convergir, qual é a soma?
Passo 2
Escolha do método: vou usar o Teste da Integral (integral test). Por que? Porque os termos são positivos e a função correspondente
é natural de integrar em
; o teste da integral é um método padrão e direto para séries com termos do tipo racional em
e
. Mais adiante apresento um reforço com outro teste (Cauchy condensation) como verificação alternativa.
Mini-aula rápida sobre o Teste da Integral:
- Teorema (teste da integral): Seja
contínua, positiva e decrescente em . Defina . Então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge (tem valor finito). - Intuição: somar áreas de retângulos de base
e altura se comporta, em termos de convergência, como integrar .
Passo 3
Verificar as hipóteses do teste para
em
.
- Positividade: para
temos e , logo . - Continuidade:
é contínua para (não há singularidade em ), portanto contínua em . - Monotonia decrescente: calcular a derivada para mostrar que
é decrescente.
A função é. Usando a regra do quociente (ou produto), obtém-se Para tem-se , então e . Portanto em . Assim é decrescente.
Portanto as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicar o Teste da Integral: analisar a integral imprópria
Fazer a substituição padrão para integrar essa função. Seja
. Então
. Assim
A integral à direita é conhecida (é logaritmo):
Agora tomamos o limite quando
:
Como
quando
, temos
. Logo a integral diverge para
.
Passo 5
Conclusão pelo Teste da Integral: como
diverge, a série
também diverge. Ou seja, os termos agregam área infinita; a soma parcial cresce sem limite.
Passo 6
Verificação alternativa (Cauchy condensation) — mini-aula e aplicação rápida:
- Teorema de condensação de Cauchy: se
é uma sequência positiva e decrescente, então converge se, e somente se, a série condensada converge. - Aplicando a
: para , Então a série condensada é , que é um múltiplo da série harmônica e diverge. Portanto, pela condensação, a série original diverge também. Isso confirma o resultado do teste da integral.
Passo 7
Interpretação final e observação prática: a série diverge lentamente (os termos vão a zero muito devagar, apenas como
), mas isso já é suficiente para que a soma parcial tenda a infinito. Como diverge, não existe soma finita a ser calculada.
Resposta
Divergente.