(2,0) Determine os 5 primeiros termos de cada sequência; e se a sequência é converge ou divergente; se for convergente ache o limite:
a_{n}=\frac{\cos ^{2} n}{2 n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar os 5 primeiros termos da sequência a_{n}=\dfrac{\cos^{2} n}{2n}.
  • Dizer se a sequência é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar o limite.
Informações dadas:
  • A sequência é definida para n=1,2,3,\dots por a_{n}=\dfrac{\cos^{2} n}{2n}.
  • Aqui n aparece como argumento da função cosseno; por convensão em análise, esse argumento está em radianos.

Passo 2

Calcular explicitamente os cinco primeiros termos substituindo n=1,2,3,4,5. Não é necessário calcular o valor numérico de \cos n para escrever os termos; basta substituir n na fórmula:
a_{1}=\frac{\cos^{2}1}{2\cdot1}=\frac{\cos^{2}1}{2},
a_{2}=\frac{\cos^{2}2}{2\cdot2}=\frac{\cos^{2}2}{4},
a_{3}=\frac{\cos^{2}3}{2\cdot3}=\frac{\cos^{2}3}{6},
a_{4}=\frac{\cos^{2}4}{2\cdot4}=\frac{\cos^{2}4}{8},
a_{5}=\frac{\cos^{2}5}{2\cdot5}=\frac{\cos^{2}5}{10}.
Esses são os cinco primeiros termos em forma explícita. Se for preciso em prova, normalmente escrever assim é suficiente; se quiser aproximações decimais, usa-se calculadora para avaliar \cos 1,\cos 2,\dots.

Passo 3

Vamos estudar o comportamento para n\to\infty. Primeiro uma observação simples sobre \cos^{2}n.
Sabemos que, para qualquer número real x,
-1\le \cos x \le 1.
Ao elevar ao quadrado, como t\mapsto t^{2} é não-negativo para todo t, obtemos
0 \le \cos^{2}x \le 1.
Aplicando isso ao caso x=n (inteiro),
0 \le \cos^{2}n \le 1\quad\text{para todo }n.

Passo 4

Usando a desigualdade anterior na expressão de a_{n}, multiplicamos por 1/(2n) (positivo para n\ge1), então obtemos a estimativa
0 \le a_{n}=\frac{\cos^{2}n}{2n} \le \frac{1}{2n}.
Essa desigualdade é útil porque compara a_{n} com a sequência \dfrac{1}{2n}, cuja convergência conhecemos bem.

Passo 5

Analisar o limite da sequência comparadora. A sequência
b_{n}=\frac{1}{2n}
tende a zero quando n\to\infty, pois denominador cresce sem limite e numerador é constante. Formalmente,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=0.
Agora aplicamos o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem): se 0\le a_{n}\le b_{n} para todo n a partir de algum índice e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, então \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Aqui já temos 0\le a_{n}\le b_{n} para todo n e b_{n}\to0; portanto
\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
Explicando rapidinho o teorema em palavras: se uma sequência fica sempre presa entre duas outras que tendem ao mesmo valor L, então a sequência do meio também tende a L.

Passo 6

Conclusão e observações finais:
  • A sequência \left(a_{n}\right) é limitada e, pelo argumento acima, converge.
  • O limite é \;0.
  • Observação prática: o numerador \cos^{2}n oscila entre 0 e 1 sem ter limite (porque \cos n não tem limite quando n inteiro cresce), mas o fator 1/(2n) anula essas oscilações, fazendo os termos irem para zero.
Força aí — esse tipo de argumento por comparação é muito comum em provas: identificar uma desigualdade simples que aprisione a sequência e aplicar o Teorema do Confronto.

Resposta

a_{1}=\dfrac{\cos^{2}1}{2},\;a_{2}=\dfrac{\cos^{2}2}{4},\;a_{3}=\dfrac{\cos^{2}3}{6},\;a_{4}=\dfrac{\cos^{2}4}{8},\;a_{5}=\dfrac{\cos^{2}5}{10}
A sequência é convergente e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0

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