(2,0) Determine os 5 primeiros termos de cada sequência; e se a sequência é converge ou divergente; se for convergente ache o limite:
a_{n}=\frac{\cos ^{2} n}{2 n}
a_{n}=\frac{\cos ^{2} n}{2 n}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar os 5 primeiros termos da sequência
. - Dizer se a sequência é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar o limite.
Informações dadas:
- A sequência é definida para
por . - Aqui
aparece como argumento da função cosseno; por convensão em análise, esse argumento está em radianos.
Passo 2
Calcular explicitamente os cinco primeiros termos substituindo
. Não é necessário calcular o valor numérico de
para escrever os termos; basta substituir
na fórmula:
Esses são os cinco primeiros termos em forma explícita. Se for preciso em prova, normalmente escrever assim é suficiente; se quiser aproximações decimais, usa-se calculadora para avaliar
.
Passo 3
Vamos estudar o comportamento para
. Primeiro uma observação simples sobre
.
Sabemos que, para qualquer número real
,
Ao elevar ao quadrado, como
é não-negativo para todo
, obtemos
Aplicando isso ao caso
(inteiro),
Passo 4
Usando a desigualdade anterior na expressão de
, multiplicamos por
(positivo para
), então obtemos a estimativa
Essa desigualdade é útil porque compara
com a sequência
, cuja convergência conhecemos bem.
Passo 5
Analisar o limite da sequência comparadora. A sequência
tende a zero quando
, pois denominador cresce sem limite e numerador é constante. Formalmente,
Agora aplicamos o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem): se
para todo
a partir de algum índice e
, então
. Aqui já temos
para todo
e
; portanto
Explicando rapidinho o teorema em palavras: se uma sequência fica sempre presa entre duas outras que tendem ao mesmo valor
, então a sequência do meio também tende a
.
Passo 6
Conclusão e observações finais:
- A sequência
é limitada e, pelo argumento acima, converge. - O limite é
. - Observação prática: o numerador
oscila entre e sem ter limite (porque não tem limite quando inteiro cresce), mas o fator anula essas oscilações, fazendo os termos irem para zero.
Força aí — esse tipo de argumento por comparação é muito comum em provas: identificar uma desigualdade simples que aprisione a sequência e aplicar o Teorema do Confronto.
Resposta
A sequência é convergente e