1. sumk=1^+infty k^2k^3+1

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a série infinita sumk=1^+infty k^2k^3+1 e o objetivo é decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries infinitas e testes de convergência, especialmente comparação assintótica com séries p.

Passo 2

Observação do termo geral: o termo geral é ak=k^2k^3+1. Quando estudamos séries, é comum comparar o comportamento de ak para k grande com séries conhecidas, tipo a harmônica 1/k.

Passo 3

Teste da comparação limite: calculamos
limktoinfty ak1/k =limktoinfty k^2k^3+11k =limktoinfty k^3k^3+1 =1
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo, a série sum ak tem o mesmo comportamento de sum 1/k, que é divergente (série harmônica).

Passo 4

Conclusão pelo teste de comparação-limite: já que sumk=1^infty 1k diverge e o limite acima é 1, a nossa série sumk=1^infty k^2k^3+1 também diverge.

Resposta

A série diverge.

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