1. a) sumk=2^+infty k+1k^2-k

Passo 1

Temos a série infinita sumk=2^+infty k+1k^2-k. O conteúdo é séries numéricas e vamos testar convergência usando decomposição em frações parciais e soma telescópica.

Passo 2

Aplicando frações parciais, escrevemos
k+1k(k-1) = Ak-1 + Bk
Resolvendo os coeficientes a partir de
(k+1) = A,k + B,(k-1)
obtemos A=2 e B=-1. Assim,
k+1k^2-k = 2k-1 - 1k

Passo 3

Para a soma parcial até N, temos
SN = sumk=2^N l(2k-1 - 1kr)
Fazendo a mudança de índice e usando o número harmônico HN = sumk=1^N 1k, chegamos a
SN = 2HN-1 - (HN - 1) = HN + 1 - 2N

Passo 4

Como HN cresce sem limite quando N to +infty, segue que SN to +infty. Logo, a série não converge para um valor finito e diverge.

Resposta

A série diverge (não converge para um valor finito).

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