Determine a primitiva para cada função escrevendo integral f(x) d x ou integral f(theta) d theta ou integral f(t) d t e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
f(t)=cossec ^2 t-2 e^t

Passo 1

A questão pede a primitiva (integral indefinida) de
f(t)=csc^2 t-2e^t,
ou seja calcular integral f(t),dt. O conteúdo aqui é integração de funções conhecidas: csc^2 t e e^t. Para verificar, vamos depois derivar o resultado obtido.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, separamos:
integral f(t),dt=integralcsc^2 t,dt-2integral e^t,dt
Sabemos que
integralcsc^2 t,dt=-cot t+C1
e
integral e^t,dt=e^t+C2
Logo,
integral f(t),dt=-cot t-2e^t+C,
onde C=C1-2C2 é a constante geral.

Passo 3

Para verificar, derivamos
F(t)=-cot t-2e^t+C
Temos
F'(t)=(-cot t)'-(2e^t)'+0=csc^2 t-2e^t=f(t),
confirmando que encontramos a primitiva correta.

Resposta

-cot t - 2e^t + C

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