Determine a primitiva para cada função escrevendo integral f(x) d x ou integral f(theta) d theta ou integral f(t) d t e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
f(x)=13 raiz[3]x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva de
f(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}. O conteúdo envolvido é a integração de funções potenciais, e vamos usar a fórmula
integral x^m,dx=x^m+1m+1+C,
válida para m≠−1.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f(x) como potência de x:
f(x)=13,x^2/3=13,x^-2/3
Logo,
integral f(x),dx=13integral x^-2/3,dx
Aplicando a fórmula com m=−2/3, temos m+1=1/3, então
13cdotx^1/31/3+C=x^1/3+C

Passo 3

Para verificar, derivamos F(x)=x^{1/3}+C:
F'(x)=13x^-2/3=13raiz[3]x^2=f(x),
confirmando que encontramos a primitiva correta.

Resposta

x^1/3+C

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