Determine a primitiva para cada função escrevendo integral f(x) d x ou integral f(theta) d theta ou integral f(t) d t e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
f(x)=x^2+x+1raizx

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva (integral indefinida) de
f(x)=x^2+x+1raizx. O conteúdo envolve manipular potências de x e usar a regra geral integral x^n,dx=x^n+1n+1+C. Para resolver, vamos reescrever a função como soma de potências e depois integrar cada termo.

Passo 2

Começo reescrevendo o integrando em potências:
x^2+x+1raizx=x^2-tfrac12+x^1-tfrac12+x^0-tfrac12=x^3/2+x^1/2+x^-1/2

Passo 3

Agora aplico a regra da integral de potência integral x^n,dx=x^n+1n+1+C em cada termo:
  • Para x^3/2: n=3/2 então n+1=5/2 e integral x^3/2dx=x^5/25/2=25x^5/2.
  • Para x^1/2: n=1/2 então n+1=3/2 e integral x^1/2dx=x^3/23/2=23x^3/2.
  • Para x^-1/2: n=-1/2 então n+1=1/2 e integral x^-1/2dx=x^1/21/2=2x^1/2.

Passo 4

Somando os três resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(x)=25x^5/2+23x^3/2+2x^1/2+C

Passo 5

Para verificar, derivamos F(x):
  • ddxl(25x^5/2r)=25·52x^3/2=x^3/2,
  • ddxl(23x^3/2r)=23·32x^1/2=x^1/2,
  • ddx(2x^1/2)=2·12x^-1/2=x^-1/2.
    Somando esses termos, voltamos a x^3/2+x^1/2+x^-1/2=x^2+x+1raizx, confirmando que está correto.

Resposta

integral x^2+x+1raizxdx=25x^5/2+23x^3/2+2x^1/2+C.

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