Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que daqui a t anos o índice de monóxido de carbono no ar estará aumentando á razão de 0,1 t+0,1 partes por milhão por ano. Se o índice atual de monóxido de carbono no ar é de 3,4 partes por milhão, qual será o índice daqui a 3 anos?

Passo 1

O enunciado indica que a taxa de variação do índice de monóxido de carbono é dada por dIdt=0,1t+0,1 e que o índice inicial é I(0)=3,4. Queremos encontrar I(3).

Passo 2

Para obter I(t), integramos a taxa de variação em relação a t:
I(t)=integral(0,1t+0,1),dt=0,1t^22+0,1t+C=0,05t^2+0,1t+C

Passo 3

Usamos a condição inicial I(0)=3,4 para determinar a constante de integração:
I(0)=0,05cdot0^2+0,1cdot0+C=3,4implies C=3,4

Passo 4

Agora temos a expressão completa de I(t):
I(t)=0,05t^2+0,1t+3,4

Passo 5

Substituindo t=3 nessa fórmula para achar I(3):
I(3)=0,05cdot3^2+0,1cdot3+3,4=0,45+0,3+3,4=4,15

Resposta

O índice daqui a 3 anos será 4,15 partes por milhão.

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