Determine a primitiva para cada função escrevendo integral f(x) d x ou integral f(theta) d theta ou integral f(t) d t e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
f(x)=2 x-3 x^2

Passo 1

A questão pede a primitiva (antiderivada) de f(x)=2x−3x², ou seja, calcular ∫f(x)dx e depois verificar derivando. O conteúdo é integração indefinida usando a regra da potência e a linearidade da integral.

Passo 2

Como a integral é linear, separamos: ∫(2x−3x²)dx=∫2x dx−∫3x²dx. Aplicando a regra da potência ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1) (para n≠−1) e fator constante: ∫2x dx=2·x²/2=x² e ∫3x²dx=3·x³/3=x³.

Passo 3

Assim, juntando e acrescentando a constante C obtemos a primitiva:
x²−x³+C²³

Passo 4

Para verificar, derivamos: d/dx(x²−x³+C)=2x−3x², que é exatamente f(x). Logo, a antiderivada está correta.

Resposta

integral(2x-3x^2),dx = x^2 - x^3 + C

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