Determine a primitiva para cada função escrevendo integral f(x) d x ou integral f(theta) d theta ou integral f(t) d t e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
f(x)=12 x^2+3^x

Passo 1

A questão pede para encontrar a primitiva de f(x)=12x^2+3^x, ou seja, calcular integral f(x),dx e depois verificar derivando o resultado.

Passo 2

Separemos em duas integrais: integral 12x^2,dx = integral 12x^-2,dx. Usando a regra de potência integral x^n,dx=x^n+1n+1, nneq -1, temos
integral 12x^-2,dx=12cdotx^-2+1-2+1=12cdotx^-1-1=-12x

Passo 3

Agora a segunda parte: integral 3^x,dx. Para exponenciais de base a vale integral a^x,dx=a^xln a, logo
integral 3^x,dx=3^xln 3

Passo 4

Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(x)=-12x+3^xln 3+C

Passo 5

Para verificar, derivamos:
F'(x)=ddxl(-tfrac12xr)+ddxl(tfrac3^xln 3r)+0=12x^2+3^x, que coincide com f(x).

Resposta

-12x+3^xln 3+C

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