Determine a primitiva para cada função escrevendo integral f(x) d x ou integral f(theta) d theta ou integral f(t) d t e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
f(y)=y^2 raizy

Passo 1

O enunciado pede pra achar a primitiva de f(y)=y²√y, ou seja, calcular a integral indefinida integral y^2raizy,dy. O conteúdo aqui é integração de potências, e vamos usar a regra
integral x^n,dx=x^n+1n+1+C,
além de derivar o resultado pra checar.

Passo 2

Primeiro, escrevemos y^2raizy como potência única. Como raizy=y^1/2, temos
y^2raizy=y^2cdot y^1/2=y^2+1/2=y^5/2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da integral de potência com n=5/2. Aumentamos o expoente em 1 e dividimos por esse novo expoente:
integral y^5/2,dy=y^5/2+15/2+1+C=y^7/27/2+C
Dividindo por 7/2 é o mesmo que multiplicar por 2/7:
integral y^2raizy,dy=27y^7/2+C

Passo 4

Pra verificar, derivamos o resultado. Se F(y)=tfrac27y^7/2, então
F'(y)=27cdot72y^7/2-1=y^5/2=y^2raizy,
que é exatamente f(y). Isso confirma que a primitiva está certa.

Resposta

integral y^2raizy,dy=27y^7/2+C

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