Determine a primitiva para cada função escrevendo integral f(x) d x ou integral f(theta) d theta ou integral f(t) d t e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
f(x)=x^5+4x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma primitiva da função $ f(x) = \frac{x^{5} + 4}{x^{2}} $. Isso significa que precisamos calcular a integral indefinida $ \int f(x) , dx $. Para isso, vamos precisar saber como integrar funções polinomiais e simplificar a fração antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) $. Temos:
f(x)
Podemos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
f(x) = x^5 + 4x^2

Passo 3

Agora que simplificamos a função, podemos reescrever a integral:
integral f(x) , dx = integral ( x^3 + 4x^-2 ) dx
Isso separa a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de $ x^{n} $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $, desde que $ n \neq -1 $.
Para o primeiro termo:
x^n
Para o segundo termo:
x^n+1n+1

Passo 5

Agora, juntamos as integrais dos dois termos e adicionamos a constante de integração $ C $:
C

Passo 6

Por último, vamos verificar nossa resposta derivando a primitiva que encontramos. A derivada de $ \frac{x^{4}}{4} $ é $ x^{3} $, e a derivada de $ -\frac{4}{x} $ é $ \frac{4}{x^{2}} $. A constante $ C $ desaparece na derivada.
Então, derivando:
x^44
Como a derivada da primitiva voltou à função original, nossa resposta está correta.

Resposta

A primitiva de $ f(x) = \frac{x{5}+4}{x{2}} $ é:
f(x) = x^5+4x^2
Onde $ C $ é a constante de integração.

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