Determine a primitiva para cada função escrevendo
ou
ou
e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma primitiva da função $ f(x) = \frac{x^{5} + 4}{x^{2}} $. Isso significa que precisamos calcular a integral indefinida $ \int f(x) , dx $. Para isso, vamos precisar saber como integrar funções polinomiais e simplificar a fração antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) $. Temos:
Podemos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
Passo 3
Agora que simplificamos a função, podemos reescrever a integral:
Isso separa a integral em duas partes mais fáceis de resolver.
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de $ x^{n} $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $, desde que $ n \neq -1 $.
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Passo 5
Agora, juntamos as integrais dos dois termos e adicionamos a constante de integração $ C $:
Passo 6
Por último, vamos verificar nossa resposta derivando a primitiva que encontramos. A derivada de $ \frac{x^{4}}{4} $ é $ x^{3} $, e a derivada de $ -\frac{4}{x} $ é $ \frac{4}{x^{2}} $. A constante $ C $ desaparece na derivada.
Então, derivando:
Como a derivada da primitiva voltou à função original, nossa resposta está correta.
Resposta
A primitiva de $ f(x) = \frac{x{5}+4}{x{2}} $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração.