Determine a primitiva para cada função escrevendo
ou
ou
e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primitiva da função $ f(x) = x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} $. Isso envolve calcular a integral indefinida de $ f(x) $, ou seja, $ \int f(x) , dx $. Para isso, vamos usar as regras básicas de integração, como a integral de potências e a integral de funções que resultam em funções trigonométricas inversas.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a integral da função:
Podemos separar essa integral em três partes:
Passo 3
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
-
Integral de $ x^{2} $:A integral de uma potência de $ x $ é dada por:Aplicando isso para $ n = 2 $:
-
Integral de $ 1 $:A integral de uma constante é:
-
Integral de $ \frac{1}{x^{2} + 1} $:Essa é uma integral que resulta na função arco-tangente:
Passo 4
Agora, juntando todas as partes que integramos:
Resposta
A primitiva de $ f(x) = x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} $ é: