Determine a primitiva para cada função escrevendo integral f(x) d x ou integral f(theta) d theta ou integral f(t) d t e calculando a integral indefinida. Verifique sua resposta derivando.
f(x)=x^2+1+1x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primitiva da função $ f(x) = x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} $. Isso envolve calcular a integral indefinida de $ f(x) $, ou seja, $ \int f(x) , dx $. Para isso, vamos usar as regras básicas de integração, como a integral de potências e a integral de funções que resultam em funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a integral da função:
integral ( x^2 + 1 + 1x^2 + 1 ) dx
Podemos separar essa integral em três partes:
integral x^2 , dx + integral 1 , dx + integral 1x^2 + 1 , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Integral de $ x^{2} $:
    A integral de uma potência de $ x $ é dada por:
    x^2
    Aplicando isso para $ n = 2 $:
    x
  2. Integral de $ 1 $:
    A integral de uma constante é:
    integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
  3. Integral de $ \frac{1}{x^{2} + 1} $:
    Essa é uma integral que resulta na função arco-tangente:
    n = 2

Passo 4

Agora, juntando todas as partes que integramos:
integral ( x^2 + 1 + 1x^2 + 1 ) dx = x^33 + x + arctan(x) + C

Resposta

A primitiva de $ f(x) = x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} $ é:
f(x) = x^2 + 1 + 1x^2 + 1

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