Determine a primitiva de cada função:
Passo 1
Temos a função f(x)=\frac{(1-x)^2}{x\sqrt{x}}. O conteúdo aqui é integração de funções algébricas, e vamos precisar usar a regra de potência para integrais, que diz que
para
.
Passo 2
Observamos que
. Então podemos reescrever f(x) de forma mais simples:
[f(x)=\frac{(1-x)2}{x{3/2}}=(1-x)2,x{-3/2}.]
[f(x)=\frac{(1-x)2}{x{3/2}}=(1-x)2,x{-3/2}.]
Passo 3
Agora expandimos o quadrado no numerador para obter uma soma de potências de x:
[(1-x)2=1-2x+x2,]
então
[f(x)= (1-2x+x2),x{-3/2}=x{-3/2}-2x{-1/2}+x^{1/2}.]
[(1-x)2=1-2x+x2,]
então
[f(x)= (1-2x+x2),x{-3/2}=x{-3/2}-2x{-1/2}+x^{1/2}.]
Passo 4
Integramos cada termo separadamente usando a regra de potência:
- Para
, temos , então
[\displaystyle\int x{-3/2}dx=\frac{x{-3/2+1}}{-3/2+1}=\frac{x{-1/2}}{-1/2}=-2x{-1/2}.] - Para
, fatoramos o -2 e integramos com :
[\displaystyle-2\int x{-1/2}dx=-2\cdot\frac{x{1/2}}{1/2}=-4x^{1/2}.] - Para
, temos , então
[\displaystyle\int x{1/2}dx=\frac{x{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.]
Passo 5
Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva F(x).
Resposta
F(x)=-2x{-1/2}-4x{1/2}+\tfrac{2}{3}x^{3/2}+C