Determine a primitiva de cada função:
f(x)=(1-x)^2x raizx

Passo 1

Temos a função f(x)=\frac{(1-x)^2}{x\sqrt{x}}. O conteúdo aqui é integração de funções algébricas, e vamos precisar usar a regra de potência para integrais, que diz que integral x^m,dx=x^m+1m+1+C para mneq -1.

Passo 2

Observamos que xraizx=x^3/2. Então podemos reescrever f(x) de forma mais simples:
[f(x)=\frac{(1-x)2}{x{3/2}}=(1-x)2,x{-3/2}.]

Passo 3

Agora expandimos o quadrado no numerador para obter uma soma de potências de x:
[(1-x)2=1-2x+x2,]
então
[f(x)= (1-2x+x2),x{-3/2}=x{-3/2}-2x{-1/2}+x^{1/2}.]

Passo 4

Integramos cada termo separadamente usando a regra de potência:
  • Para integral x^-3/2dx, temos m=-3/2, então
    [\displaystyle\int x{-3/2}dx=\frac{x{-3/2+1}}{-3/2+1}=\frac{x{-1/2}}{-1/2}=-2x{-1/2}.]
  • Para integral(-2x^-1/2)dx, fatoramos o -2 e integramos x^-1/2 com m=-1/2:
    [\displaystyle-2\int x{-1/2}dx=-2\cdot\frac{x{1/2}}{1/2}=-4x^{1/2}.]
  • Para integral x^1/2dx, temos m=1/2, então
    [\displaystyle\int x{1/2}dx=\frac{x{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.]

Passo 5

Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva F(x).

Resposta

F(x)=-2x{-1/2}-4x{1/2}+\tfrac{2}{3}x^{3/2}+C

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