Determine a primitiva de f(u)=2 u^{2 / 3}-u^{5} que se anula no ponto 1 .

Passo 1

O enunciado dá a função f(u)=2u^{2/3}-u^{5} e pede: encontrar uma primitiva F de f tal que F(1)=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é f(u)=2u^{2/3}-u^{5}.
  • Deve-se obter uma primitiva F(u) (ou seja, F'(u)=f(u)).
  • A primitiva encontrada precisa satisfazer a condição de contorno F(1)=0.

Passo 2

Regra que vamos usar (regra do expoente para integrais): para qualquer número real n com n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.
Explicando: a integral indefinida busca uma função cuja derivada seja u^{n}. A expressão \dfrac{u^{n+1}}{n+1} é essa antiderivada porque, ao derivar, o expoente desce multiplicando e cancela com o denominador. Aqui os expoentes que aparecem são n=\tfrac{2}{3} e n=5, ambos diferentes de -1, então a regra se aplica.

Passo 3

Integramos o primeiro termo 2u^{2/3}. Aplicando a linearidade da integral (constante multiplicativa pode sair da integral) e a regra dos potências:
\int 2u^{2/3}\,du = 2\int u^{2/3}\,du.
Agora use a fórmula com n=\tfrac{2}{3}:
\int u^{2/3}\,du=\frac{u^{2/3+1}}{2/3+1}=\frac{u^{5/3}}{5/3}.
Portanto
2\int u^{2/3}\,du = 2\cdot\frac{u^{5/3}}{5/3}=2\cdot\frac{3}{5}u^{5/3}=\frac{6}{5}u^{5/3}.

Passo 4

Integramos o segundo termo -u^{5}. Aplicando a regra com n=5:
\int -u^{5}\,du = -\int u^{5}\,du = -\frac{u^{5+1}}{5+1} = -\frac{u^{6}}{6}.

Passo 5

Juntando as antiderivadas dos dois termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral
F(u)=\frac{6}{5}u^{5/3}-\frac{u^{6}}{6}+C.

Passo 6

Usamos a condição F(1)=0 para determinar C. Substituindo u=1:
F(1)=\frac{6}{5}\cdot 1^{5/3}-\frac{1^{6}}{6}+C=\frac{6}{5}-\frac{1}{6}+C.
Fazendo a soma das frações:
\frac{6}{5}-\frac{1}{6}=\frac{36}{30}-\frac{5}{30}=\frac{31}{30}.
Como F(1)=0, segue
\frac{31}{30}+C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{31}{30}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando a primitiva geral F(u)=\dfrac{6}{5}u^{5/3}-\dfrac{u^{6}}{6}+C obtém-se
F'(u)=\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{3}u^{2/3}-\frac{6}{6}u^{5}=2u^{2/3}-u^{5},
que é exatamente f(u). A verificação confirma que a antiderivada está correta (a constante desaparece na derivada).

Resposta

F(u)=\frac{6}{5}u^{5/3}-\frac{u^{6}}{6}-\frac{31}{30}

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