Determine a primitiva de
que se anula no ponto 1 .
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: encontrar uma primitiva
de
tal que
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função a integrar é
. - Deve-se obter uma primitiva
(ou seja, ). - A primitiva encontrada precisa satisfazer a condição de contorno
.
Passo 2
Regra que vamos usar (regra do expoente para integrais): para qualquer número real
com
,
onde
é a constante de integração.
Explicando: a integral indefinida busca uma função cuja derivada seja . A expressão
é essa antiderivada porque, ao derivar, o expoente desce multiplicando e cancela com o denominador. Aqui os expoentes que aparecem são
e
, ambos diferentes de
, então a regra se aplica.
Explicando: a integral indefinida busca uma função cuja derivada seja
Passo 3
Integramos o primeiro termo
. Aplicando a linearidade da integral (constante multiplicativa pode sair da integral) e a regra dos potências:
Agora use a fórmula com
:
Portanto
Passo 4
Integramos o segundo termo
. Aplicando a regra com
:
Passo 5
Juntando as antiderivadas dos dois termos e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral
Passo 6
Usamos a condição
para determinar
. Substituindo
:
Fazendo a soma das frações:
Como
, segue
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando a primitiva geral
obtém-se
que é exatamente
. A verificação confirma que a antiderivada está correta (a constante desaparece na derivada).