Seja
e seja
a primitiva de
cuja imagem no ponto 0 é -1 . Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função
é definida por . - A função
é uma primitiva de ; isto é, vale para todo . - Sabe-se que
.
O que o problema pede:
- Calcular o valor de
.
Passo 2
Primeiro vamos calcular explicitamente
. Para isso aplicamos a regra básica de integração (regra da potência): para
,
Usando essa regra para integrar a função integrando
, uma primitiva é
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida de
a
é a diferença entre essa primitiva em
e em
. Portanto,
Passo 3
Agora
é primitiva de
, isto é,
. Para obter
integramos
termo a termo, novamente usando a regra da potência:
-
. -
.
Assim uma primitiva geral de
é
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 4
Usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na expressão de
,
Como
, segue
. Portanto a primitiva que nos interessa é
Passo 5
Finalmente, para obter
substituímos
na expressão de
: