Seja \varphi(x)=\int_{0}^{x} s^{3}-1 d s e seja f a primitiva de \varphi cuja imagem no ponto 0 é -1 . Calcule f(-1).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função \varphi é definida por \varphi(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \bigl(s^{3}-1\bigr)\,d s.
  • A função f é uma primitiva de \varphi; isto é, vale f'(x)=\varphi(x) para todo x.
  • Sabe-se que f(0)=-1.
O que o problema pede:
  • Calcular o valor de f(-1).

Passo 2

Primeiro vamos calcular explicitamente \varphi(x). Para isso aplicamos a regra básica de integração (regra da potência): para n\neq -1,
\int s^{n}\,d s=\dfrac{s^{n+1}}{n+1}+C.
Usando essa regra para integrar a função integrando s^{3}-1, uma primitiva é \dfrac{s^{4}}{4}-s. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida de 0 a x é a diferença entre essa primitiva em x e em 0. Portanto,
\varphi(x)=\left(\dfrac{x^{4}}{4}-x\right)-\left(\dfrac{0^{4}}{4}-0\right)=\dfrac{x^{4}}{4}-x.

Passo 3

Agora f é primitiva de \varphi, isto é, f'(x)=\varphi(x)=\dfrac{x^{4}}{4}-x. Para obter f integramos \varphi termo a termo, novamente usando a regra da potência:
  • \displaystyle\int \dfrac{x^{4}}{4}\,d x=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{x^{5}}{5}=\dfrac{x^{5}}{20}.
  • \displaystyle\int (-x)\,d x=-\dfrac{x^{2}}{2}.
Assim uma primitiva geral de \varphi é
f(x)=\dfrac{x^{5}}{20}-\dfrac{x^{2}}{2}+C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 4

Usamos a condição inicial f(0)=-1 para determinar C. Substituindo x=0 na expressão de f,
f(0)=\dfrac{0^{5}}{20}-\dfrac{0^{2}}{2}+C=C.
Como f(0)=-1, segue C=-1. Portanto a primitiva que nos interessa é
f(x)=\dfrac{x^{5}}{20}-\dfrac{x^{2}}{2}-1.

Passo 5

Finalmente, para obter f(-1) substituímos x=-1 na expressão de f:
f(-1)=\dfrac{(-1)^{5}}{20}-\dfrac{(-1)^{2}}{2}-1=-\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{2}-1.

Resposta

-\dfrac{31}{20}

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