Obtenha \int_{1}^{x}\left(\theta+\int_{0}^{\theta} z d z\right) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{x}\left(\theta+\int_{0}^{\theta} z\,dz\right)d\theta.
Informações dadas:
  • A variável de integração externa é \theta e o limite inferior é 1, o superior é x (portanto a resposta será uma função de x).
  • Há uma integral interna \int_{0}^{\theta} z\,dz que depende de \theta.
  • O objetivo é obter uma expressão fechada (uma fórmula em função de x) para essa integral.

Passo 2

Calcular a integral interna \int_{0}^{\theta} z\,dz.
Regra que usamos: para uma potência, a regra da primitivação (regra do expoente) diz que
\int z^{n}\,dz=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\neq -1),
onde C é constante de integração. Aqui z é z^{1}, então
\int z\,dz=\int z^{1}\,dz=\frac{z^{2}}{2}+C.
Como é uma integral definida de 0 a \theta, avaliamos sem constante:
\int_{0}^{\theta} z\,dz=\left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{\theta}=\frac{\theta^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{\theta^{2}}{2}.

Passo 3

Substituir o resultado da integral interna no integrando externo.
Temos então
\theta+\int_{0}^{\theta} z\,dz=\theta+\frac{\theta^{2}}{2}.
Logo a integral original vira
\int_{1}^{x}\left(\theta+\int_{0}^{\theta} z\,dz\right)d\theta=\int_{1}^{x}\left(\theta+\frac{\theta^{2}}{2}\right)d\theta.

Passo 4

Usar a linearidade da integral para separar os termos.
A propriedade linear da integral diz que, para funções f e g e constantes a,b,
\int (a f + b g)\,d\theta = a\int f\,d\theta + b\int g\,d\theta.
Aplicando aqui:
\int_{1}^{x}\left(\theta+\frac{\theta^{2}}{2}\right)d\theta=\int_{1}^{x}\theta\,d\theta+\frac{1}{2}\int_{1}^{x}\theta^{2}\,d\theta.

Passo 5

Encontrar antiderivadas (primitivas) dos termos.
Usando a regra do expoente novamente:
\int \theta\,d\theta=\frac{\theta^{2}}{2}+C,\qquad \int \theta^{2}\,d\theta=\frac{\theta^{3}}{3}+C.
Portanto uma primitiva da soma é
F(\theta)=\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\theta^{3}}{3}=\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{3}}{6}.
(Não precisamos escrever a constante C quando vamos avaliar uma integral definida.)

Passo 6

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar F(\theta) entre os limites \theta=1 e \theta=x.
\int_{1}^{x}\left(\theta+\frac{\theta^{2}}{2}\right)d\theta=F(x)-F(1) =\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}\right)-\left(\frac{1^{2}}{2}+\frac{1^{3}}{6}\right).
Calcular o valor em 1:
\frac{1^{2}}{2}+\frac{1^{3}}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}.
Portanto
\int_{1}^{x}\left(\theta+\int_{0}^{\theta} z\,dz\right)d\theta=\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}-\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{3}

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