Obtenha
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A variável de integração externa é
e o limite inferior é , o superior é (portanto a resposta será uma função de ). - Há uma integral interna
que depende de . - O objetivo é obter uma expressão fechada (uma fórmula em função de
) para essa integral.
Passo 2
Calcular a integral interna
.
Regra que usamos: para uma potência, a regra da primitivação (regra do expoente) diz que
onde
é constante de integração. Aqui
é
, então
Como é uma integral definida de
a
, avaliamos sem constante:
Passo 3
Substituir o resultado da integral interna no integrando externo.
Temos então
Logo a integral original vira
Passo 4
Usar a linearidade da integral para separar os termos.
A propriedade linear da integral diz que, para funções
e
e constantes
,
Aplicando aqui:
Passo 5
Encontrar antiderivadas (primitivas) dos termos.
Usando a regra do expoente novamente:
Portanto uma primitiva da soma é
(Não precisamos escrever a constante
quando vamos avaliar uma integral definida.)
Passo 6
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar
entre os limites
e
.
Calcular o valor em
:
Portanto