Determine uma primitiva da função:
f(x)=6

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) de f(x)=6. Informação dada: a função f é constante e vale 6 para todo x (assumimos x\in\mathbb{R}). A pergunta é única: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x).

Passo 2

O que é uma primitiva? Uma função F é primitiva de f quando a derivada de F é f, ou seja,
F'(x)=f(x).
Além disso, se F é uma primitiva de f, então qualquer função da forma F(x)+C (com C constante) também é primitiva de f, porque a derivada de uma constante é zero. Essa constante C é chamada de constante de integração.

Passo 3

Estratégia simples para constantes: a derivada de uma função linear \,ax é a. Em particular, a derivada de \,6x é 6. Portanto \,6x é uma primitiva de \,6. Vamos formalizar isso usando as regras de antiderivação.

Passo 4

Usando a linearidade da integral (ou antiderivação) e a regra do caso x^{n}:
\int 6\,dx = 6\int 1\,dx = 6\int x^{0}\,dx.
A regra do poder diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando com n=0:
\int x^{0}\,dx = \frac{x^{1}}{1} + C = x + C.
Logo,
\int 6\,dx = 6(x + C) = 6x + C',
onde C' é outra constante arbitrária (podemos renomear 6C como C').

Passo 5

Verificação rápida: diferenciar o resultado para checar que volta à função original. Se F(x)=6x+C' então
F'(x)=\frac{d}{dx}(6x+C')=6,
que é exatamente f(x). Portanto a primitiva está correta.

Resposta

6x+C

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