Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis
:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que façamos a mudança de variáveis
. Vou interpretar aqui
como
(ou seja, usar
), porque assim a notação fica padrão e é a mudança usual para equações homogêneas.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
O que o exercício pede: encontrar a solução geral
usando a mudança
.
Passo 2
Por que a substituição
é natural aqui? Vou mostrar de forma direta que o lado direito depende apenas da razão
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos:
Logo o lado direito é função de
apenas, isto é, é uma equação homogênea de grau zero em
. Nesses casos a substituição
transforma a equação numa equação separável em
e
.
Passo 3
Façamos a substituição. Primeiro escrevo
em função de
e
:
Agora aplico a regra da derivada de um produto (regra da cadeia/derivação):
Aqui expliquei: tratamos
como função de
, então a derivada de
é
.
Passo 4
Substituo
e
na equação original:
Agora passo
para o outro lado para isolar
:
Passo 5
Faço a operação no lado direito com cuidado, colocando sobre denominador comum
:
Portanto a equação fica
Passo 6
Agora reorganizo para obter uma equação separável (todos os
de um lado e
do outro). Dividindo ambos os lados por
e multiplicando pelo fator que isola
temos:
Aqui expliquei: multipliquei ambos os lados por
e dividi por
para separar variáveis.
Passo 7
Integro os dois lados. À esquerda aparece uma integral que será feita por substituição simples; à direita é a integral de
:
Para a integral da esquerda, faço a substituição
. Então
, de onde
. Substituindo:
Voltando para
:
.
A integral da direita é
Passo 8
Igualando as integrais (absorvendo constantes numa só constante
) obtemos:
Multiplicando por
:
onde
. Exponenciando ambos os lados:
com
. Observação:
para todo
real, então podemos retirar o valor absoluto sem problemas:
onde agora
é uma constante arbitrária (pode ser qualquer número real positivo ou negativo se absorvermos sinal; manterei
geral).
Passo 9
Volto à variável original
usando
. Substituo
na expressão acima:
Multiplico por
para limpar o denominador:
Essa é a forma implícita da solução geral. Se quiser isolar
, temos