Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis v=y / \bar{x} :
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x^{2}+5 y^{2}}{2 x y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x^{2}+5 y^{2}}{2 x y}
e pede que façamos a mudança de variáveis v=y/\bar{x}. Vou interpretar aqui \bar{x} como x (ou seja, usar v=y/x), porque assim a notação fica padrão e é a mudança usual para equações homogêneas.
Informações relevantes que temos:
\text{Equação: }\frac{d y}{d x}=\frac{2 x^{2}+5 y^{2}}{2 x y}, \qquad\text{e a substituição dada: }v=\frac{y}{x}.çãçã
O que o exercício pede: encontrar a solução geral y(x) usando a mudança v=\dfrac{y}{x}.

Passo 2

Por que a substituição v=y/x é natural aqui? Vou mostrar de forma direta que o lado direito depende apenas da razão y/x. Dividindo numerador e denominador por x^{2} obtemos:
\frac{2 x^{2}+5 y^{2}}{2 x y} =\frac{2 + 5 (y/x)^{2}}{2 (y/x)}.
Logo o lado direito é função de y/x apenas, isto é, é uma equação homogênea de grau zero em x,y. Nesses casos a substituição v=y/x transforma a equação numa equação separável em v e x.

Passo 3

Façamos a substituição. Primeiro escrevo y em função de v e x:
y=vx.
Agora aplico a regra da derivada de um produto (regra da cadeia/derivação):
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(v x)=v + x\frac{d v}{d x}.
Aqui expliquei: tratamos v como função de x, então a derivada de v x é v\cdot 1 + x\cdot dv/dx.

Passo 4

Substituo \dfrac{d y}{d x} e y=vx na equação original:
v + x\frac{d v}{d x}=\frac{2+5 v^{2}}{2 v}.
Agora passo v para o outro lado para isolar x\,dv/dx:
x\frac{d v}{d x}=\frac{2+5 v^{2}}{2 v}-v.

Passo 5

Faço a operação no lado direito com cuidado, colocando sobre denominador comum 2v:
\frac{2+5 v^{2}}{2 v}-v=\frac{2+5 v^{2}-2 v^{2}}{2 v}=\frac{2+3 v^{2}}{2 v}.
Portanto a equação fica
x\frac{d v}{d x}=\frac{2+3 v^{2}}{2 v}.

Passo 6

Agora reorganizo para obter uma equação separável (todos os v de um lado e x do outro). Dividindo ambos os lados por x e multiplicando pelo fator que isola dv temos:
\frac{2 v}{2+3 v^{2}}\,d v=\frac{d x}{x}.
Aqui expliquei: multipliquei ambos os lados por \dfrac{2v}{2+3v^{2}} e dividi por x para separar variáveis.

Passo 7

Integro os dois lados. À esquerda aparece uma integral que será feita por substituição simples; à direita é a integral de 1/x:
\int \frac{2 v}{2+3 v^{2}}\,dv=\int \frac{dx}{x}.
Para a integral da esquerda, faço a substituição u=2+3 v^{2}. Então du=6 v\,dv, de onde v\,dv=du/6. Substituindo:
\int \frac{2 v}{2+3 v^{2}}\,dv =2\int \frac{v\,dv}{u} =2\int \frac{du}{6u} =\frac{1}{3}\int \frac{du}{u} =\frac{1}{3}\ln|u|+C_{1}.
Voltando para v: \dfrac{1}{3}\ln|2+3 v^{2}|+C_{1}.
A integral da direita é
\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C_{2}.

Passo 8

Igualando as integrais (absorvendo constantes numa só constante C) obtemos:
\frac{1}{3}\ln|2+3 v^{2}|=\ln|x|+C.
Multiplicando por 3:
\ln|2+3 v^{2}|=3\ln|x|+C',
onde C'=3C. Exponenciando ambos os lados:
|2+3 v^{2}|=C'' x^{3},
com C''=e^{C'}>0. Observação: 2+3v^{2}>0 para todo v real, então podemos retirar o valor absoluto sem problemas:
2+3 v^{2}=C x^{3},
onde agora C é uma constante arbitrária (pode ser qualquer número real positivo ou negativo se absorvermos sinal; manterei C geral).

Passo 9

Volto à variável original y usando v=y/x. Substituo v^{2}=y^{2}/x^{2} na expressão acima:
2+3\frac{y^{2}}{x^{2}}=C x^{3}.
Multiplico por x^{2} para limpar o denominador:
2 x^{2}+3 y^{2}=C x^{5}.
Essa é a forma implícita da solução geral. Se quiser isolar y, temos
y^{2}=\frac{C x^{5}-2 x^{2}}{3}, \qquad y=\pm\sqrt{\frac{C x^{5}-2 x^{2}}{3}}.

Resposta

2 x^{2}+3 y^{2}=C x^{5}

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