Determine as trajetórias ortogonais às famílias de curvas dadas. Faça esboço dos gráficos. x^{2}+(y-c)^{2}=c^{2}
Passo 1
O enunciado pede: determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas dada por
x^{2}+(y-c)^{2}=c^{2},
onde c é o parâmetro que identifica cada curva da família. Informações relevantes que o enunciado dá:
A família consiste de círculos com centro em (0,c) e raio c (porque a equação tem a forma de um círculo).
Cada círculo passa por (0,0) (veja que ao substituir x=0,y=0 na equação obtemos 0+(0-c)^{2}=c^{2}, verdade).
O que se pede é a família de curvas que corta cada uma dessas curvas formando ângulo reto em cada ponto de interseção (trajetórias ortogonais).
Passo 2
Como a ideia básica para achar trajetórias ortogonais é padrão, vou explicar passo a passo o método (calma, é tranquilo quando dividimos em etapas):
Diferenciar implicitamente a equação da família dada em relação a x para obter a derivada \dfrac{dy}{dx} da família original (essa derivada é a inclinação das tangentes das curvas da família).
A inclinação da trajetória ortogonal em cada ponto é o inverso negativo dessa derivada (ou seja, se a família tem inclinação m, a ortogonal tem inclinação -1/m).
Substituir essa relação em uma equação diferencial e resolvê-la para obter a família de trajetórias ortogonais.
Agora aplico a etapa 1: diferenciar a equação dada. Parto de
x^{2}+(y-c)^{2}=c^{2}.
Derivando em relação a x, lembrando que c é constante (parâmetro) e y depende de x:
Portanto a equação diferencial que descreve as trajetórias ortogonais é
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}-x^{2}}{2xy}.
Passo 5
Agora vamos resolver essa equação diferencial. Observa-se que é uma equação homogênea: o lado direito depende só da razão \dfrac{y}{x}. Para resolver, uso a substituição padrão v=\dfrac{y}{x} (ou seja y=vx). Explico por que isso funciona: em equações homogêneas cada termo tem mesma ordem em x,y e a substituição reduz a ODE a separável.
Com y=vx temos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituo na ODE:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^{2}-x^{2}}{2x(vx)} = \frac{v^{2}x^{2}-x^{2}}{2v x^{2}} = \frac{v^{2}-1}{2v}.
Portanto são círculos de centro \bigl(\tfrac{K}{2},0\bigr) e raio \bigl|\tfrac{K}{2}\bigr|. Note que todos esses círculos passam por (0,0) (substituindo x=0,y=0 satisfazem a equação). Assim:
A família original eram círculos com centros em (0,c) sobre o eixo y e raio c (todos passavam por (0,0) e eram tangentes ao eixo x em (0,0)).
As trajetórias ortogonais são círculos com centros no eixo x em (K/2,0) e raio |K/2| (todos passam por (0,0) e são tangentes ao eixo y em (0,0)).
No esboço mental: desenhe os eixos; desenhe várias pequenas e grandes semicircunferências centradas no eixo y tocando o eixo x em (0,0) (família original); desenhe então círculos centrados no eixo x passando por (0,0). Esses dois conjuntos de círculos se cortam sempre formando ângulo reto.
Resposta
y^{2}+x^{2}=Kx,\quad K\in\mathbb{R}.
\text{Equivalente: }\bigl(x-\tfrac{K}{2}\bigr)^{2}+y^{2}=\bigl(\tfrac{K}{2}\bigr)^{2}\\ (\text{círculos com centro em }(\tfrac{K}{2},0)\text{ e raio }|\tfrac{K}{2}|).í