Determine uma primitiva da função.
f(x)=e-e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e-e^{2x} e pede que eu determine uma primitiva dessa função.
Informações relevantes:
  • A função é f(x)=e-e^{2x}.
  • Aqui e é a constante de Euler (aproximadamente 2,718\ldots), ou seja, um número fixo.
  • O pedido “determinar uma primitiva” quer uma função F(x) tal que F'(x)=f(x).

Passo 2

O que é uma primitiva?
  • Uma primitiva de f é qualquer função F que satisfaça F'(x)=f(x) para todo x no domínio.
  • Quando integramos, aparece sempre uma constante arbitrária C, porque derivada de uma constante é zero. Então a primitiva geral vem com +C.

Passo 3

Vou usar a propriedade de linearidade da integral (ou da primitivação): a primitiva de uma soma/diferença é a soma/diferença das primitivas. Assim basta calcular primitivas separadas de e e de e^{2x} e combinar:
\int (e-e^{2x})\,dx = \int e\,dx - \int e^{2x}\,dx.

Passo 4

Primitiva do primeiro termo \int e\,dx:
  • Como e é uma constante, a primitiva de uma constante k é kx (pois \dfrac{d}{dx}(kx)=k).
  • Portanto \int e\,dx = e\,x + C_1, onde C_1 é uma constante (vamos juntar as constantes depois).

Passo 5

Primitiva do segundo termo \int e^{2x}\,dx:
  • Regra que usaremos: para a\neq 0, \displaystyle \int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}+C.
  • Justificativa curta: pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}e^{a x}=a e^{a x}. Então para “desfazer” essa derivada precisamos multiplicar por 1/a.
  • Aplicando com a=2 obtemos \displaystyle \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C_2.

Passo 6

Combino os resultados dos passos anteriores:
\int (e-e^{2x})\,dx = e\,x - \frac{1}{2}e^{2x} + C,
onde C é a constante geral resultante de C_1-C_2.

Passo 7

Verificação (sempre bom checar na prova): derivo F(x)=e\,x-\dfrac{1}{2}e^{2x}+C:
  • \dfrac{d}{dx}(e\,x)=e porque e é constante;
  • \dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{2}e^{2x}\right)=-\dfrac{1}{2}\cdot 2 e^{2x} = -e^{2x} pela regra da cadeia;
    somando: F'(x)=e-e^{2x}, que é exatamente f(x). Portanto está correto.

Resposta

F(x)=e\,x-\dfrac{1}{2}e^{2x}+C

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