Determine uma primitiva da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu determine uma primitiva dessa função.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é
. - Aqui
é a constante de Euler (aproximadamente ), ou seja, um número fixo. - O pedido “determinar uma primitiva” quer uma função
tal que .
Passo 2
O que é uma primitiva?
- Uma primitiva de
é qualquer função que satisfaça para todo no domínio. - Quando integramos, aparece sempre uma constante arbitrária
, porque derivada de uma constante é zero. Então a primitiva geral vem com .
Passo 3
Vou usar a propriedade de linearidade da integral (ou da primitivação): a primitiva de uma soma/diferença é a soma/diferença das primitivas. Assim basta calcular primitivas separadas de
e de
e combinar:
Passo 4
Primitiva do primeiro termo
:
- Como
é uma constante, a primitiva de uma constante é (pois ). - Portanto
, onde é uma constante (vamos juntar as constantes depois).
Passo 5
Primitiva do segundo termo
:
- Regra que usaremos: para
, . - Justificativa curta: pela regra da cadeia,
. Então para “desfazer” essa derivada precisamos multiplicar por . - Aplicando com
obtemos .
Passo 6
Combino os resultados dos passos anteriores:
onde
é a constante geral resultante de
.
Passo 7
Verificação (sempre bom checar na prova): derivo
:
-
porque é constante; -
pela regra da cadeia;
somando:, que é exatamente . Portanto está correto.